2023年中考数学一轮复习-全等三角形八大模型汇总（通用）

一、对称模型(共5题，共30分)

1. (2023八上·平桂期末)如图，点B、F、C、E在同一条直线上，AB⊥BE，DE⊥BE，AB＝DE，BF＝EC，求证：∠A＝∠D.

证明题普通

2. (2022八上·冠县期中)已知：如图，点D在线段AC上，点B在线段AE上，AE=AC，BE=DC，求证：∠E=∠C．

证明题普通

3. (2022八上·老河口期中)如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的平分线相交于点O，AO的延长线交 $\text{[math]}$ 于点D， $\text{[math]}$ .求证： $\text{[math]}$ .

证明题普通

4. (2022八上·大丰期中)已知：如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点D、E分别在边AC、AB上，且 $\text{[math]}$ ， BD与CE相交于点O.求证： $\text{[math]}$ .

证明题普通

5. (2022八上·温州期中)如图，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 求证： $\text{[math]}$ ≌ $\text{[math]}$ .

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数.

综合题普通

二、平移模型(共4题，共25分)

6. (2022八上·东阿期中)如图，点B，E，C，F在同一直线上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 有什么数量关系？请说明理由．

解答题普通

7. (2022八上·北京市期中)如图，点A，F，C，D在同一直线上， $\text{[math]}$ ，请你再添加一个条件，使得 $\text{[math]}$ ，并证明．

解答题普通

8. (2022八上·余杭期中)已知：如图，在△ADF和△BCE中，点B，F，E，D依次在一条直线上，若AF∥CE，∠B=4D，BF=DE，求证：AF=CE．

证明题普通

9. (2022八上·杭州期中)如图，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ．

(2) 连结 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长度．

综合题普通

三、角平分线模型(共5题，共36分)

10. (2023八上·平桂期末)如图，AD＝BD，∠CAD+∠CBD＝180°，求证：CD平分∠ACB.

证明题普通

11. (2022八上·易县期中)如图， $\text{[math]}$ ， M是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数

解答题普通

12. (2022八上·定南期中)如图所示，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，连接EF，EF与AD交于点G，求证：AD垂直平分EF．

证明题普通

13. (2022八上·南昌期中)如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，动点E以 $\text{[math]}$ 的速度从A点向F点运动，动点G以 $\text{[math]}$ 的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 当t取何值时， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 全等．

综合题困难

14. (2022八上·交城期中)综合与实践：

问题情境：已知 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的平分线，P是射线 $\text{[math]}$ 上的一点，点C，D分别在射线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 初步探究：如图1，当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系是；

(2) 深入探究：如图2，点C，D分别在射线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上运动，且 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 在（1）中的数量关系还成立吗？请说明理由；

(3) 拓展应用：如图3，如果点C在射线 $\text{[math]}$ 上运动，且 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，点D落在了射线 $\text{[math]}$ 的反向延长线上，若点P到 $\text{[math]}$ 的距离为3， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长（直接写出答案）．

实践探究题困难

四、手拉手模型(共5题，共47分)

15. (2022九上·武清期中)如图，在 $\text{[math]}$ 中以 $\text{[math]}$ 为边分别作正方形 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．证明： $\text{[math]}$ ．

解答题普通

16. (2022九上·蓬安期中)在 $\text{[math]}$ 中，以AB为边作等边 $\text{[math]}$ ，以AC为边作等边 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．

证明题普通

17. (2022八上·老河口期中)如图， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， D为 $\text{[math]}$ 外一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点E，F为 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ ，过点F作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点G.

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 求证： $\text{[math]}$ 是等腰直角三角形；

(3) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数.

综合题普通

18. (2022八上·平城竞赛)已知 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图1当 $\text{[math]}$ 时．求证：

$\text{[math]}$ ≌ $\text{[math]}$ ；

$\text{[math]}$ ；

(2) 如图2当 $\text{[math]}$ 时，直接写出 $\text{[math]}$ 的度数为；

(3) 如图3，直接写出 $\text{[math]}$ 的度数为 $\text{[math]}$ 用含 $\text{[math]}$ 的式子表示 $\text{[math]}$ ．

综合题困难

19. (2022八上·余杭期中)如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=100°，∠BOC=α．以OC为边作等边△OCD，连接AD．

(1) 求证：△BOC≌△ADC；

(2) 当a=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；

(3) 探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？

综合题普通

五、倍长中线模型(共4题，共31分)

20. (2022八上·惠东期中)如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是中线， $\text{[math]}$ 于点E，于点E， $\text{[math]}$ 于点F，交AD的延长线于点F，求证： $\text{[math]}$ ．

证明题普通

21. (2022八上·大兴期中)如图 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中线．

求证： $\text{[math]}$ ．

请将下面的推理过程补充完整：

证明：如图 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

∵ $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中线，

∴ $\text{[math]}$ ．

在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中，

$\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ （）．

∴ ▲ （全等三角形的对应边相等）．

∴在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ （），

∴ $\text{[math]}$ ．

即 $\text{[math]}$ ．

证明题普通

22. (2022八上·萧山期中)如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上的高线， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上的中线， $\text{[math]}$ 于 G， $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 已知 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 面积．

综合题普通

23. (2022八上·海曙期中)

(1) 【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，若AB＝13，AC＝9，求BC边上的中线AD的取值范围．

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE，容易证得△ADC≌△EDB，再由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是．

解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．

(2) 【初步运用】如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且∠FAE＝∠AFE．若AE＝4，EC＝3，求线段BF的长．

(3) 【拓展提升】如图3，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥DF分别交AB，AC于点E，F．求证：BE+CF＞EF．

实践探究题困难

六、一线三等角模型(共5题，共60分)

24. (2022八上·曹县期中)如图，点E在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 于点A， $\text{[math]}$ 于点B， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 说明 $\text{[math]}$ 的理由；

(2) 求 $\text{[math]}$ 的度数．

综合题普通

25. (2022八上·北仑期中)如图， $\text{[math]}$ ，射线 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 不与点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 重合 $\text{[math]}$ 上的动点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交射线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ .

(1) 如图1，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.

(2) 如图2，若 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ 试猜测 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的数量关系，并说明理由；

$\text{[math]}$ 若 $\text{[math]}$ 的面积为5，求四边形 $\text{[math]}$ 的面积.

(3) 如图3，

①已知点 $\text{[math]}$ 是网格中的格点，若三角形 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为底边的等腰三角形，那么这样的 $\text{[math]}$ 点共有 ▲ 个；

②在网格中找出一个点 $\text{[math]}$ ，使得点 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的距离分别相等，请在网格中标注点 $\text{[math]}$ 保留作图痕迹 $\text{[math]}$

综合题困难

26. (2022八上·余姚期中)如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D是线段 $\text{[math]}$ 上任意一点，连接 $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交线段 $\text{[math]}$ 于点E．

(1) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的度数；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．

综合题普通

27. (2022八上·滨海期中)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D．

(1) 求证：△ADC≌△CEB．

(2) AD＝5cm，DE＝3cm，求BE的长度．

综合题普通

28. (2022八上·威远期中)如图：

(1) 模型的发现：

如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点在直线 $\text{[math]}$ 的同侧， $\text{[math]}$ 直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 直线 $\text{[math]}$ ，垂足分别为点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．请直接写出 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的数量关系．

(2) 模型的迁移1：位置的改变

如图2，在（1）的条件下，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点在直线 $\text{[math]}$ 的异侧，请说明 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的关系，并证明．

(3) 模型的迁移2：角度的改变

如图3，在（1）的条件下，若三个直角都变为了相等的钝角，即 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，（1）的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的关系，并证明．