若二次函数y=a1x2+b1x+c1的图象记为C1 ，其顶点为A，二次函数y=a2x2+b2x+c2的图象记为C2 ，其顶点为B，且满足点A在C2上，点B在C1上，则称这两个二次函数互为“共同体二次函数”.(1)写出二次函数y=x2的一个“共同体二次函数”；(2)设二次函数y=x2-2x+3与y轴的交点为P，求以P为顶点的二次函数y=x2-2x+3的“共同体二次函数”；(3)若二次函数y=2x2-1与其“共同体二次函数”的顶点不重合，试求该“共同体二次函数”的二次项系数.

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1. 若二次函数y=a₁x²+b₁x+c₁的图象记为C₁ ，其顶点为A，二次函数y=a₂x²+b₂x+c₂的图象记为C₂ ，其顶点为B，且满足点A在C₂上，点B在C₁上，则称这两个二次函数互为“共同体二次函数”.

(1)写出二次函数y=x²的一个“共同体二次函数”；

(2)设二次函数y=x²-2x+3与y轴的交点为P，求以P为顶点的二次函数y=x²-2x+3的“共同体二次函数”；

(3)若二次函数y=2x²-1与其“共同体二次函数”的顶点不重合，试求该“共同体二次函数”的二次项系数.

【考点】

待定系数法求二次函数解析式;

【答案】

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解答题困难

基础巩固

能力提升

变式训练

拓展培优

真题演练

换一批

1. 已知二次函数图象的顶点坐标为 $\text{[math]}$ ，且经过点 $\text{[math]}$ ，求这个二次函数的表达式．

解答题容易

2. 已知抛物线的顶点是 $\text{[math]}$ ，形状与 $\text{[math]}$ 相同，但开口方向相反，则该抛物线解析式为．

填空题容易

3. 已知二次函数的图象以 $\text{[math]}$ 为顶点，且过点 $\text{[math]}$ ，求该函数的解析式．

解答题容易

1. 已知抛物线y＝ax²﹣bx+3经过点A(1，2)，B(2，3)．

(1)求此抛物线的函数解析式．

(2)判断点B(﹣1，﹣4)是否在此抛物线上．

解答题普通

2. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）．

(1) 求抛物线的对称轴及点A，B的坐标；

(2) 当 $\text{[math]}$ 时，y有最大值为7，求抛物线的解析式．

解答题普通

3. 如图，在平面直角坐标系中O为坐标原点，抛物线 $\text{[math]}$ 与y轴的交点为 $\text{[math]}$ ，与x轴的一个交点为 $\text{[math]}$ ． P是抛物线上的一个动点，其横坐标为m，过点P作 $\text{[math]}$ 轴于点Q．以 $\text{[math]}$ 为边作矩形PQAM．

(1) 求抛物线的函数关系式；

(2) 当点O在矩形 $\text{[math]}$ 的边上时，求m的取值范围；

(3) 当抛物线在矩形 $\text{[math]}$ 内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大时，求m的取值范围；

(4) 当 $\text{[math]}$ 时，设矩形 $\text{[math]}$ 垂直于y轴的边所在的直线分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，若该抛物线的顶点到这两条直线的其中一条直线的距离是到另一条直线的距离的2倍时，直接写出m的值．

解答题普通

1. 已知 $\text{[math]}$ 表示不超过实数x的最大整数，函数 $\text{[math]}$ 的部分图象如图所示，若方程 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 有2个解，则a的取值范围是（　　）

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题困难

2. 为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于 $\text{[math]}$ 轴对称， $\text{[math]}$ 轴， $\text{[math]}$ ，最低点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上，高 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则右轮廓 $\text{[math]}$ 所在抛物线的解析式为（）

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题普通

3. 下表记录了二次函数 $\text{[math]}$ 中两个变量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的5组对应值，其中 $\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$	…	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	5	…
$\text{[math]}$	…	$\text{[math]}$	0	$\text{[math]}$	0	$\text{[math]}$	…

若当 $\text{[math]}$ 时，直线 $\text{[math]}$ 与该二次函数图象有两个公共点，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题普通

1. 已知：如图1，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴相交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ，与y轴交于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 求抛物线的解析式；

(2) 点P为抛物线第三象限上的一点，若 $\text{[math]}$ ，求点P的坐标；

(3) 如图2，点M为抛物线在点A左侧上的一点，点M与点N关于抛物线的对称轴对称，直线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别交y轴于点E、D，求 $\text{[math]}$ 的值．

解答题困难

2. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线 $\text{[math]}$ ．

(1) 求抛物线的表达式；

(2) 点P是直线 $\text{[math]}$ 上方抛物线上的一动点，过点P作 $\text{[math]}$ 轴，交 $\text{[math]}$ 于点D．点M是y轴上的一动点，连接 $\text{[math]}$ ．当线段 $\text{[math]}$ 长度取得最大值时，求 $\text{[math]}$ 周长的最小值；

(3) 将该抛物线进行平移，使得平移后的抛物线经过（2）中 $\text{[math]}$ 周长取得最小值时的点M，且与x轴交于 $\text{[math]}$ 两点（E在F的左侧），连接 $\text{[math]}$ ．点N为平移后的抛物线上的一动点，当 $\text{[math]}$ 时，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．

解答题困难

3. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点A、点B（点A在点B的左侧，点B在原点O右侧），与y轴交于点C，且 $\text{[math]}$ ．

(1) 求抛物线的表达式；

(2) 如图1，点P是直线 $\text{[math]}$ 上方抛物线上一点，过点P作 $\text{[math]}$ 平行于y轴交 $\text{[math]}$ 于点Q，点D是 $\text{[math]}$ 的中点，过点D作 $\text{[math]}$ 的平行线交y轴于点F，过点C作 $\text{[math]}$ 平行于x轴交 $\text{[math]}$ 于点H，点R在直线 $\text{[math]}$ 上，当 $\text{[math]}$ 取最大值时，求此时点P的坐标及 $\text{[math]}$ 的最大值．

(3) 如图2，点E坐标为 $\text{[math]}$ ，将原抛物线沿射线 $\text{[math]}$ 方向平移 $\text{[math]}$ 个单位长度，得到新抛物线 $\text{[math]}$ ，在抛物线 $\text{[math]}$ 是否存在点M，满足 $\text{[math]}$ ，若存在，直接写出点M的坐标并写出其中一个点的求解过程，若不存在请说明理由．

解答题困难

1. “闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把焦脆而不糊的豆腐块数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，“可食用率”p与加工煎炸的时间t（单位：分钟）近似满足函数关系式： $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ a，b，c为常数），如图纪录了三次实验数据，根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为（）

A. 3.50分钟 B. 4.05分钟 C. 3.75分钟 D. 4.25分钟

单选题普通

2. 已知二次函数的图象经过点 $\text{[math]}$ ，顶点为 $\text{[math]}$ 将该图象向右平移，当它再次经过点 $\text{[math]}$ 时，所得抛物线的函数表达式为.

填空题普通

3. 如图是二次函数 $\text{[math]}$ 的图像，该函数的最小值是．

填空题普通