探究与证明【问题情景】数学探究课上，老师带来了一张三角形纸片，如图1，其中，，然后沿着底边上的中线剪开，得到与纸片，其中点与点对应、点与点对应，然后让同学们利用与纸片摆出自己喜欢的图形，并提出数学问题．数学科代表小明很快用与纸片摆出如图2的图形，点与点重合，延长交于点，请求出的长．【数学思考】（1）请你直接写出小明所摆图形中的长为_____________；【深入探究】（2）善于思考的小红，在小明摆出的图形里，将绕点逆时针方向旋转，使点落在内部，并提出问题：如图3，当时，过点作交的延长线于点，与交于点，试猜想线段和的数量关系，并加以证明；（3）在（1）（2）的条件下，若，请求出点到直线的距离．

1. 探究与证明

【问题情景】数学探究课上，老师带来了一张三角形纸片，如图1，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，然后沿着底边上的中线 $\text{[math]}$ 剪开，得到 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 纸片，其中点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 对应、点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 对应，然后让同学们利用 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 纸片摆出自己喜欢的图形，并提出数学问题．数学科代表小明很快用 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 纸片摆出如图2的图形，点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，请求出 $\text{[math]}$ 的长．

【数学思考】（1）请你直接写出小明所摆图形中 $\text{[math]}$ 的长为_____________；

【深入探究】（2）善于思考的小红，在小明摆出的图形里，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针方向旋转，使点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 内部，并提出问题：如图3，当 $\text{[math]}$ 时，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，试猜想线段 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的数量关系，并加以证明；