【观察思考】如图，是某同学在棋盘上用围棋摆成的图案．【规律发现】（1）第⑤个图案中“●”的个数为______，“○”的个数为______；（2）第n个图案中“●”的个数为______，“○”的个数为______；【规律应用】（3）该同学准备用100枚“●”棋子和100枚“○”棋子摆放第n个图案，摆放成完整的图案后，写出n的最大值为______；此时还剩下_____

1. 莫高窟坐落于河西走廊西部的尽头——敦煌，是我国古代文明的璀璨艺术宝库．莫高窟保存壁画4.5万多平方米，具有独特的形式美感和艺术魅力．如图，为莫高窟壁画纹样，小明发现，壁画纹样中还蕴藏着数学知识，其中第①个图案中有5个花朵图案，第②个图案中有8个花朵图案，第③个图案中有11个花朵图案，．．．．．．．，按此规律排列下去，则第⑨个图案中花朵图案的个数为．

填空题容易

2. 观察图中图形的构成规律，根据此规律，第 $\text{[math]}$ 个图形中有个圆圈．

填空题容易

3. 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等的原料，通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、…癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷……）．甲烷的化学式为 $\text{[math]}$ ，乙烷的化学式为 $\text{[math]}$ ，丙烷的化学式为 $\text{[math]}$ ， …，其结构式如图所示，依此规律，十一烷的化学式为．

填空题容易

1. 若干个“△”和“★”按照一定规律排列成下列图形．

(1) 按照上图所示规律，图4中有______个“△”，图5中有______个“★”；

(2) 设图 $\text{[math]}$ 中有 $\text{[math]}$ 个“△”， $\text{[math]}$ 个“★”，试求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的数量关系．

解答题普通

2. 将菱形 $\text{[math]}$ 如图 $\text{[math]}$ 进行如下划分，第 $\text{[math]}$ 次划分：分别连接菱形 $\text{[math]}$ 对边的中点 $\text{[math]}$ 如图 $\text{[math]}$ ，得线段 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，它们交于点 $\text{[math]}$ ，此时图 $\text{[math]}$ 中共有 $\text{[math]}$ 个菱形；第 $\text{[math]}$ 次划分：将图 $\text{[math]}$ 左上角菱形 $\text{[math]}$ 按相同方式再划分 $\text{[math]}$ 如图 $\text{[math]}$ ，则图 $\text{[math]}$ 中共有 $\text{[math]}$ 个菱形．

(1) 若把左上角的菱形按上述方式依次划分下去，则第 $\text{[math]}$ 次划分后图中共有个菱形．

(2) 能否将菱形 $\text{[math]}$ 划分成有 $\text{[math]}$ 个菱形的图形？如果能，请算出是第几次划分后得到的，如果不能，请说明理由．

(3) 设原菱形的面积为1，通过不断地划分该菱形，并把数量关系和几何图形进行巧妙地结合，可以得到 $\text{[math]}$ ． (直接写出答案即可)

解答题普通

3. 下面的图形是由边长为1的正方形按照某种规律排列而组成的，如图①，正方形的个数为8，周长为18．

(1) 推测第4个图形中，正方形的个数为___________，周长为___________；

(2) 推测第n个图形中，正方形的个数为___________，周长为___________；（都用含n的代数式表示）．

解答题普通

1. 如图，第①个图形中共有5个小黑点，第②个图形中共有9个小黑点，第③个图形中共有13个小黑点，……按此规律排列下去，则第⑤个图形中小黑点的个数为（　　）．

A. 17 B. 21 C. 25 D. 29

单选题容易

2. 按照如图所示的方法铺设黑、白两色的小正方形地砖，第1个图案中有1块黑色小正方形地砖，第2个图案中有5块黑色小正方形地砖，第3个图案中有13块黑色小正方形地砖，…，则第7个图案中黑色小正方形地砖的块数是（）

A. 25块 B. 61块 C. 85块 D. 113块

单选题普通

3. 如图、小红用边长为1的等边三角形做镶嵌的探究活动，第①个图案由2个等边三角形组成，第②个图案由6个等边三角形组成，第③个图案由10个等边三角形组成…按照这样的规律排列下去，则第⑥个图案中，边长为1的等边三角形的个数为（）

A. 17 B. 22 C. 27 D. 32

单选题容易

1. 如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推．

(1) 阴影部分的面积是______；

(2) 以下是甲，乙两位同学求 $\text{[math]}$ 的方法；

甲同学的方法：利用已给正方形图形求， $\text{[math]}$ ；

乙同学的方法： $\text{[math]}$ ①

$\text{[math]}$ ②

②－①即可．

根据两位同学的方法，你认为 $\text{[math]}$ ______；

(3) $\text{[math]}$ ______；

(4) 计算： $\text{[math]}$ ；

(5) 请借助甲，乙同学的方法，分别求出 $\text{[math]}$ 的值．

解答题困难

2. 某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列．

【观察思考】

当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块（如图2）：

(1) 当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有________块（如图3）；

(2) 以此类推，人行道上每增加1块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加________块；

(3) 【规律总结】若一条这样的人行道一共有 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为________（用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示）．

(4) 【问题解决】现有2022块等腰直角三角形地砖，若按此规律再建一条人行道，则需要正方形地砖多少块？

解答题困难

3.

(1) 【发现问题】如图，在数阵1中，第1行圆圈中的数为1，即 $\text{[math]}$ ；第2行两个圆圈中的数和为 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ；…；第 $\text{[math]}$ 行 $\text{[math]}$ 个圆圈中的数和为 $\text{[math]}$ ，即．这样，数阵1中共有个圆圈，数阵1中所有圆圈中的数之和可以表示为．

(2) 【解决问题】将数阵1旋转可得数阵2，将数阵2旋转可得数阵3，请仔细观察这三个数阵，并结合三个数阵，计算： $\text{[math]}$ ．（结果用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示）

(3) 【拓展应用】根据以上发现，计算： $\text{[math]}$ ．

实践探究题困难

1. 如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，一发光电子开始置于AB边的点P处，并设定此时为发光电子第一次与矩形的边碰撞，将发光电子沿着PR方向发射，碰撞到矩形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45°，若发光电子与矩形的边碰撞次数经过2019次后，则它与AB边的碰撞次数是.

填空题普通

2. 如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5个数是（）

A. 2 $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. 5 $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题普通

3. 幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图.如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中a的值为.

-1	-6	1
0	a	-4
-5	2	-3

填空题容易