将菱形如图进行如下划分，第次划分：分别连接菱形对边的中点如图，得线段和，它们交于点，此时图中共有个菱形；第次划分：将图左上角菱形按相同方式再划分如图，则图中共有个菱形．

1. 将菱形 $\text{[math]}$ 如图 $\text{[math]}$ 进行如下划分，第 $\text{[math]}$ 次划分：分别连接菱形 $\text{[math]}$ 对边的中点 $\text{[math]}$ 如图 $\text{[math]}$ ，得线段 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，它们交于点 $\text{[math]}$ ，此时图 $\text{[math]}$ 中共有 $\text{[math]}$ 个菱形；第 $\text{[math]}$ 次划分：将图 $\text{[math]}$ 左上角菱形 $\text{[math]}$ 按相同方式再划分 $\text{[math]}$ 如图 $\text{[math]}$ ，则图 $\text{[math]}$ 中共有 $\text{[math]}$ 个菱形．

(1) 若把左上角的菱形按上述方式依次划分下去，则第 $\text{[math]}$ 次划分后图中共有个菱形．

(2) 能否将菱形 $\text{[math]}$ 划分成有 $\text{[math]}$ 个菱形的图形？如果能，请算出是第几次划分后得到的，如果不能，请说明理由．

(3) 设原菱形的面积为1，通过不断地划分该菱形，并把数量关系和几何图形进行巧妙地结合，可以得到 $\text{[math]}$ ． (直接写出答案即可)

【考点】

探索图形规律;

【答案】

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解答题普通

1. 若干个“△”和“★”按照一定规律排列成下列图形．

(1) 按照上图所示规律，图4中有______个“△”，图5中有______个“★”；

(2) 设图 $\text{[math]}$ 中有 $\text{[math]}$ 个“△”， $\text{[math]}$ 个“★”，试求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的数量关系．

解答题普通

2. 【观察思考】如图，是某同学在棋盘上用围棋摆成的图案．

【规律发现】

（1）第⑤个图案中“●”的个数为______，“○”的个数为______；

（2）第n个图案中“●”的个数为______，“○”的个数为______；

【规律应用】

（3）该同学准备用100枚“●”棋子和100枚“○”棋子摆放第n个图案，摆放成完整的图案后，写出n的最大值为______；此时还剩下______枚棋子．

解答题困难

3. 下面的图形是由边长为1的正方形按照某种规律排列而组成的，如图①，正方形的个数为8，周长为18．

(1) 推测第4个图形中，正方形的个数为___________，周长为___________；

(2) 推测第n个图形中，正方形的个数为___________，周长为___________；（都用含n的代数式表示）．

解答题普通