某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列．【观察思考】当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块（如图2）：

1. 某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列．

【观察思考】

当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块（如图2）：

(1) 当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有________块（如图3）；

(2) 以此类推，人行道上每增加1块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加________块；

(3) 【规律总结】若一条这样的人行道一共有 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为________（用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示）．

(4) 【问题解决】现有2022块等腰直角三角形地砖，若按此规律再建一条人行道，则需要正方形地砖多少块？

【考点】

探索图形规律; 求代数式的值-直接代入求值;

【答案】

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解答题困难

1. 若干个“△”和“★”按照一定规律排列成下列图形．

(1) 按照上图所示规律，图4中有______个“△”，图5中有______个“★”；

(2) 设图 $\text{[math]}$ 中有 $\text{[math]}$ 个“△”， $\text{[math]}$ 个“★”，试求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的数量关系．

解答题普通

2. 将菱形 $\text{[math]}$ 如图 $\text{[math]}$ 进行如下划分，第 $\text{[math]}$ 次划分：分别连接菱形 $\text{[math]}$ 对边的中点 $\text{[math]}$ 如图 $\text{[math]}$ ，得线段 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，它们交于点 $\text{[math]}$ ，此时图 $\text{[math]}$ 中共有 $\text{[math]}$ 个菱形；第 $\text{[math]}$ 次划分：将图 $\text{[math]}$ 左上角菱形 $\text{[math]}$ 按相同方式再划分 $\text{[math]}$ 如图 $\text{[math]}$ ，则图 $\text{[math]}$ 中共有 $\text{[math]}$ 个菱形．

(1) 若把左上角的菱形按上述方式依次划分下去，则第 $\text{[math]}$ 次划分后图中共有个菱形．

(2) 能否将菱形 $\text{[math]}$ 划分成有 $\text{[math]}$ 个菱形的图形？如果能，请算出是第几次划分后得到的，如果不能，请说明理由．

(3) 设原菱形的面积为1，通过不断地划分该菱形，并把数量关系和几何图形进行巧妙地结合，可以得到 $\text{[math]}$ ． (直接写出答案即可)

解答题普通

3. 【观察思考】如图，是某同学在棋盘上用围棋摆成的图案．

【规律发现】

（1）第⑤个图案中“●”的个数为______，“○”的个数为______；

（2）第n个图案中“●”的个数为______，“○”的个数为______；

【规律应用】

（3）该同学准备用100枚“●”棋子和100枚“○”棋子摆放第n个图案，摆放成完整的图案后，写出n的最大值为______；此时还剩下______枚棋子．

解答题困难