从1～1000中最多可以选出个数，使得这些数中任意两个数的差都不整除它们的和。

1. （除法的应用）20220929÷9，余数是。

填空题容易

1. 一个五位数，末三位是999，如果这个数能被23整除，那么这个五位数最小是。

填空题困难

2. 如果 $\text{[math]}$ 能被2008整除，则 $\text{[math]}$ ．

填空题困难

3. 若 $\text{[math]}$ 是能被3整除的五位数，则k的可能取值有个；这样的五位数中能被9整除的是。

填空题普通

1. 已知a能整除19，那么a（　　）

A. 只能是19 B. 是1或19 C. 是19的倍数 D. 一定是38

单选题容易

2. 除法算式44÷7=6……2中，如果把被除数和除数同时扩大100倍，那么算式的结果是（）。

A. 商6余2 B. 商600余2 C. 商6余200 D. 商600余200

单选题普通

3. （数的整除）在1~400中，不能被2整除，或不能被3整除，或不能被7整除的数有多少个?

解决问题普通

1. 材料一：一正整数，如果它既能被13整除，又能被14整除，那么我们称这样的数为“一生一世”数（数字1314的谐音）．例如：正整数364， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则364是“一生一世”数．

材料2：若一个正整数m，它既能被a整除，又能被b整除，且a与b互素 $\text{[math]}$ 即a与b的公约数只有 $\text{[math]}$ ，则m一定能被ab整除．例如：正整数364，364÷13=28，364÷14=26，因为13和14互素，则 $\text{[math]}$ ，即364一定能被182整除．

(1) $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 填空：是或者不是 $\text{[math]}$ “一生一世”数．

(2) 任意一个四位数的“一生一世”数，若满足前两位数字之和等于后两位数字之和，则称这样的数为“相伴一生一世”数，求出所有的“相伴一生一世”数．

解决问题困难

2. 已知一个自然数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被13整除，那么这个自然数就一定能被13整除，我们把能被13整除的自然数称为“梦想数”。

例如：判断26260是否为“梦想数”，这个数的末三位数字是260，末三位以前的数字组成的数是26，这两个数的差是：260-26=234，234能被13整除，因此26260是“梦想数”。

(1) 判断1158和254514是否为“梦想数”，并说明理由；

(2) 如果一个四位自然数M，千位和百位上的数字均为a，十位与个位上的数字均为b，我们就称它为“OOKK数”。已知一个四位数M既是“梦想数”又是“OOKK数”。求数M的值。

解决问题困难

3. 一个多位正整数，将其首两位截去，若余下的数与这个首两位数的和能被11整除，则我们称这样的数为“双十一致”．如1221，截去首两位12，余下的数为21，21与12的和为33，能被11整除，则1221是“双十一数”。

(1) 判断56736(“是”或“不是”)“双十一数”。

(2) 求证：将任意一个“双十一数”的首两位数与余下的数交换得到一个新数，该新数一定能被11整除。

(3) 一个各位数字均不为0的三位正整数m，将其各位上的数字重新排列得到新三位数 $\text{[math]}$ ，在所有正新排列的数中，当a+2b-3c最大时，我们称此时的三位数为m的“自恋数”，并规定f(m)= $\text{[math]}$ ．比如123，重新排列可得132，213，231，312，321。

1+2×3-3×2=1，2+2×1-3×3=-5，2+2×3-3×1=5，3+2×1-3×2=-1，3+2×2-3×1=4，因为5>4>1>-1>-5，所以231是123的“自恋数”，则f(123)= $\text{[math]}$ ，若一个三位“双十一数”t的十位数字与个位数字之和是5，且十位数字小于个位数字，求所有“双十一数”中f(t)的最大值。

解决问题困难

1. 能同时被2、3、5整除的最小三位数是120（）

A. 正确 B. 错误

判断题普通

2. 一个质数如果加上3能被2整除，加上2能被3整除，在40以内符合条件的质数共有个．

填空题普通

3. a是自然数，如果a÷b=3，那么a能被b整除.（）

A. 正确 B. 错误

判断题普通