材料一：一正整数，如果它既能被13整除，又能被14整除，那么我们称这样的数为“一生一世”数（数字1314的谐音）．例如：正整数364，，，则364是“一生一世”数．材料2：若一个正整数m，它既能被a整除，又能被b整除，且a与b互素即a与b的公约数只有，则m一定能被ab整除．例如：正整数364，364÷13=28，364÷14=26，因为13和14互素，则，即364一定能被182整除．

1. 材料一：一正整数，如果它既能被13整除，又能被14整除，那么我们称这样的数为“一生一世”数（数字1314的谐音）．例如：正整数364， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则364是“一生一世”数．

材料2：若一个正整数m，它既能被a整除，又能被b整除，且a与b互素 $\text{[math]}$ 即a与b的公约数只有 $\text{[math]}$ ，则m一定能被ab整除．例如：正整数364，364÷13=28，364÷14=26，因为13和14互素，则 $\text{[math]}$ ，即364一定能被182整除．

(1) $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 填空：是或者不是 $\text{[math]}$ “一生一世”数．

(2) 任意一个四位数的“一生一世”数，若满足前两位数字之和等于后两位数字之和，则称这样的数为“相伴一生一世”数，求出所有的“相伴一生一世”数．

【考点】

定义新运算; 整除的性质及应用;

【答案】

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解决问题困难

1. 定义：对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整数。例如：[5.71]=5. [5]=5. [-π]=-4.

(1) 如果[a]=-3，求a的取值范围

(2) 如果[ $\text{[math]}$ 求满足条件的所有正整数x.

解决问题普通

2. 已知，我们把任意形如： $\text{[math]}$ 的五位自然数(其中c=a+b，1≤a≤9，0≤b≤8)称之为喜马拉雅数，并规定：能被自然数n 整除的最大的喜马拉雅数记为F(n)，能被自然数n整除的最小的喜马拉雅数记为I(n)。

(1) 求证：任意一个喜马拉雅数都能被3整除：

(2) 求F(3)+I(8)的值。

解决问题困难

3. 材料一：一个大于1的正整数，若被N除余1，被(N- 1)除余1，被(N-2)除余1，．．，被3除余1，被2除余1，那称这个正整数为“明N礼”数(N取最大)，例如： 73 被5除余3，被4 除余1，被3除余1，被2除余1，那么73为“明四礼”数。

材料二：设N，(N-1)，(N-2)．．．，3，2的最小公倍数为k，那么“明N礼”数可以表示为kn+1(n为正整数) ，例如：6，5，4，3，2的最小公倍数为60，那么“明六礼”数可以表示为60n+1(n为正整数)。

(1) 17 “明三礼”数(填“是”或“不是”)，721是“明礼”数；

(2) 求最小的三位“明三礼”数；

(3) 一个“明三礼”数与“明四礼”数的和为32 ，求这两个数。

解决问题普通