用“◎”表示一种新的运算符号，已知：2◎3＝2+3+4；7◎2＝7+8；3◎5＝3+4+5+6+7，…按此规律，如果n◎8＝68，那么n是多少？

1. (定义新运算)假设： $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ 的结果是多少？

解决问题容易

计算题容易

3. 若规定 $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$

填空题容易

1. 将一个三位正整数n各数位上的数字重新排列后(含n本身)得到新三位数 $\text{[math]}$ 在所有重新排列中，当 $\text{[math]}$ 最小时，我们称 $\text{[math]}$ 是n的“调和优选数”，并规定F(n) $\text{[math]}$ 例如215可以重新排列为125，152、215，因为 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 所以125是215的是“调和优选数”， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

(1) $\text{[math]}$

(2) 如果在正整数n的三个数位上的数字中，有一个数是另外两个数的平均数，求证：F(n)是一个完全平方数。

(3) 设三位自然数 $\text{[math]}$ ， x，y为自然数)交换其个位上的数字与百位上的数字得到数t'，若 $\text{[math]}$ ，那么我们称t为“和顺数”.求所有“和顺数”中F(t)的最大值。

解决问题困难

2. 对于一个大于100的整数，若将它的后两位之前的数移到个位之后，重新得到一个新数，称之为原数的“兄弟数”。比如：2017的兄弟数为1720，158的兄弟数为581。根据以上阅读材料，回答下列问题。

(1) 求证：一个三位数与其兄弟数之差一定能被9整除；

(2) 已知一个六位数的兄弟数恰好是原六位数4倍，求满足条件的原六位数。

解决问题普通

3. 定义：两个分式A与B满足： $\text{[math]}$ ，则称A与B这两个分式互为“美妙分式”。

(1) 下列三组分式：

① $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ；

② $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ；

③ $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 。

其中互为“美妙分式”的有（只填序号）；

(2) 求分式 $\text{[math]}$ 的“美妙分式”。

解决问题普通

1. 对于两个数 $\text{[math]}$ ，规定a $\text{[math]}$ ，并且 82 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

填空题普通

2. 定义一种新运算， $\text{[math]}$ ．如 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

填空题普通

3. 规定运算“☆”为：若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．那么， $\text{[math]}$ ．

填空题普通

1. 十进制用0到9十个数字来计数，进位规则是“满十进一”。二进制用0和1 两个数字来计数，进位规则是“满二进一”，它在计算机技术中应用广泛。

(1) 十进制计数，加到10，向前一位进一。二进制计数，加到，向前一位进一。

(2) 下面是十进制数改写成二进制数的过程，请你把表格补充完整。

十进制数	1	2	3	4	5
二进制数	1

(3) 十进制数6改写成二进制数是。

填空题困难

2. 对于正整数 $\text{[math]}$ ．如果各位上的数字和是一个多位数（含两位数），那么我们再算这个多位数的各位上的数字和，直至得到一个一位数为止，我们将这个一位数记作 $\text{[math]}$ ，例如2018，因为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ．大家注意， $\text{[math]}$ 根据以上算法， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，有趣的是 $\text{[math]}$ 也等于7．这是偶然的巧合还是必然的规律？

(1) 根据以上材料，你能提出一个猜想吗？从等式（*）左边数的个数和数的位数入手考虑，尽量使你的猜想适用范围更广．

(2) 请证明你的猜想．

(3) 请举出以上结论的一个应用．

解决问题困难

3. 将一个三位正整数n各数位上的数字重新排列后(含n本身)得到新三位数 $\text{[math]}$ 在所有重新排列中，当 $\text{[math]}$ 最小时，我们称 $\text{[math]}$ 是n的“调和优选数”，并规定F(n) $\text{[math]}$ 例如215可以重新排列为125，152、215，因为 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 所以125是215的是“调和优选数”， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

(1) $\text{[math]}$

(2) 如果在正整数n的三个数位上的数字中，有一个数是另外两个数的平均数，求证：F(n)是一个完全平方数。

(3) 设三位自然数 $\text{[math]}$ ， x，y为自然数)交换其个位上的数字与百位上的数字得到数t'，若 $\text{[math]}$ ，那么我们称t为“和顺数”.求所有“和顺数”中F(t)的最大值。

解决问题困难

1. 对于任意自然数a，b，如果有a*b=ab+a+b，已知x*（3*4）=119，则x=．

填空题容易

2. 一种定义新运算：已知1※3=1×2×3，4※5=4×5×6×7×8，则（6※4）÷（3※4）=

填空题困难

3. 定义“★”的运算规则是a★b＝2×a﹣b，那么6★4＝。

填空题普通