把1、2、3、4、5……10这10个正整数，按照一定的顺序填入从左到右分别标记为1到10的10个空位中，选中两个不同的空位记为“对”，如选中2号位和5号位，此时标号小的数位中的数，如果小于标号大的数位中的数，则称这是顺序对，否则称为逆序对。

1. 把1、2、3、4、5……10这10个正整数，按照一定的顺序填入从左到右分别标记为1到10的10个空位中，选中两个不同的空位记为“对”，如选中2号位和5号位，此时标号小的数位中的数，如果小于标号大的数位中的数，则称这是顺序对，否则称为逆序对。

(1) 10个位置会产生多少个“对”？

(2) 把1到10，按照1、3、5、7、9、2、4、6、8、10的顺序填入，一共有多少个顺序对？

(3) 有没有一种填数方法可以使得顺序对比逆序对恰好多偶数个？

【考点】

定义新运算;

【答案】

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解决问题普通

1. 将一个三位正整数n各数位上的数字重新排列后(含n本身)得到新三位数 $\text{[math]}$ 在所有重新排列中，当 $\text{[math]}$ 最小时，我们称 $\text{[math]}$ 是n的“调和优选数”，并规定F(n) $\text{[math]}$ 例如215可以重新排列为125，152、215，因为 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 所以125是215的是“调和优选数”， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

(1) $\text{[math]}$

(2) 如果在正整数n的三个数位上的数字中，有一个数是另外两个数的平均数，求证：F(n)是一个完全平方数。

(3) 设三位自然数 $\text{[math]}$ ， x，y为自然数)交换其个位上的数字与百位上的数字得到数t'，若 $\text{[math]}$ ，那么我们称t为“和顺数”.求所有“和顺数”中F(t)的最大值。

解决问题困难

2. 对于一个大于100的整数，若将它的后两位之前的数移到个位之后，重新得到一个新数，称之为原数的“兄弟数”。比如：2017的兄弟数为1720，158的兄弟数为581。根据以上阅读材料，回答下列问题。

(1) 求证：一个三位数与其兄弟数之差一定能被9整除；

(2) 已知一个六位数的兄弟数恰好是原六位数4倍，求满足条件的原六位数。

解决问题普通

3. 已知任意一个正整数n都可以进行分解： $\text{[math]}$ {p、q是正整数，且 $\text{[math]}$ }，在n的所有种分解中，如果 $\text{[math]}$ 两因数之差的绝对值最小，我们就称 $\text{[math]}$ 是n的最佳分解，并规定 $\text{[math]}$ ，如12可以分解成 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，因为 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ 是12的最佳分解，所以 $\text{[math]}$ .

(1) 求 $\text{[math]}$ .（直接写出结果）

(2) 如果一个正整数m（ $\text{[math]}$ ）只有1与m本身两个正因数，则m成为质数，若质数m满足 $\text{[math]}$ ，求m的值；

(3) 是否存在正整数n满足 $\text{[math]}$ ，若存在，求n的值，若不存在，说明理由。

解决问题普通