上海市延安中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试卷

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共 21 题 ; 7人浏览 ; 高三上学期

2024-11-04

发布测评 / 在线自测

一、填空题考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.(共12题，共0分)

1. 若集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

填空题容易

2. 不等式 $\text{[math]}$ 的解集为.

填空题容易

3. 若 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为虚数单位），则 $\text{[math]}$ 的共轭复数为.

填空题容易

4. 若角 $\text{[math]}$ 的终边经过点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

填空题容易

5. 某校高一（1）班有学生40人，其中共青团员15人，全班分成4个小组，第一组有学生10人，共青团员4人，从该班任选一个作学生代表.已知选到的是共青团员，求他是第一组学生的概率.

填空题普通

6. 若 $\text{[math]}$ 的展开式中 $\text{[math]}$ 的系数是 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

填空题普通

7. 已知圆 $\text{[math]}$ ，则圆心 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的最大距离为.

填空题容易

8. 设当 $\text{[math]}$ 时，函数 $\text{[math]}$ 取得最大值，则 $\text{[math]}$ .

填空题容易

9. 已知 $\text{[math]}$ 为函数 $\text{[math]}$ 图象上的任意一点，则 $\text{[math]}$ 的最大值为.

填空题容易

10. 已知两个非零向量 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则向量 $\text{[math]}$ 在向量 $\text{[math]}$ 方向上的投影向量为.

填空题普通

11. 定义 $\text{[math]}$ 为数列 $\text{[math]}$ 的“均值”，已知数列 $\text{[math]}$ 的“均值” $\text{[math]}$ ，记数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 对任意正整数 $\text{[math]}$ 恒成立，则实数 $\text{[math]}$ 的范围为．

填空题普通

12. 若关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 内有两个不同的实数解，那么实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是.

填空题普通

二、选择题每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.(共4题，共0分)

13. “ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”成立的（）条件.

A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充分必要 D. 既非充分又非必要

单选题容易

14. (2015高二下·宜春期中)甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（）

A. 6种 B. 12种 C. 24种 D. 30种

单选题普通

15. 如图，正方体 $\text{[math]}$ 的棱线长为1，线段 $\text{[math]}$ 上有两个动点E，F，且 $\text{[math]}$ ，则下列结论中错误的是（　　）

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ 平面ABCD C. 三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为定值 D. 异面直线AE，BF所成的角为定值

单选题普通

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题普通

三、解答题本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤(共5题，共45分)

17. 如图，已知正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为 $\text{[math]}$ .

(1) 求直线 $\text{[math]}$ 和平面 $\text{[math]}$ 所成角的大小；

(2) 求二面角 $\text{[math]}$ 的大小.

解答题普通

18. 已知 $\text{[math]}$ ，曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线斜率为 $\text{[math]}$ .

(1) 求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 求不等式 $\text{[math]}$ 的解集.

解答题容易

19. 2021年8月，义务交于阶段“双减”政策出台，某初中在课后延时服务开设奥数、科技、体育等特色课程，为了进一步了解学生选课的情况，随机选取了400人进行调查问卷，整理后获得如下统计表：

	喜欢奥数	不喜欢奥数	总计
已选奥数课（A组）	150	50	200
未选奥数课（B组）	90	110	200
总计	240	160	400

(1) 若从样本内喜欢奥数的240人中用分层抽样方法随机抽取32人，则应在A组、B组各抽取多少人？

(2) 能否有 $\text{[math]}$ 的把握认为选报奥数延时课与喜欢奥数有关？

附：

$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

参考公式： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ .

解答题容易

20. 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线 $\text{[math]}$ ．

（1）过 $\text{[math]}$ 的左顶点引 $\text{[math]}$ 的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；

（2）设斜率为1的直线l交 $\text{[math]}$ 于P，Q两点，若l与圆 $\text{[math]}$ 相切，求证： $\text{[math]}$ ；

（3）设椭圆 $\text{[math]}$ ，若M，N分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上的动点，且 $\text{[math]}$ ，求证：O到直线MN的距离是定值．

解答题普通

21. 已知数列 $\text{[math]}$ 中的相邻两项 $\text{[math]}$ 是关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 的两个根，且 $\text{[math]}$ ．

(1) 求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

(2) 求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ ；

(3) 记 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．

解答题普通