在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线．（1）过的左顶点引的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；（2）设斜率为1的直线l交于P，Q两点，若l与圆相切，求证：；（3）设椭圆，若M，N分别是，上的动点，且，求证：O到直线MN的距离是定值．

1. 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线 $\text{[math]}$ ．

（1）过 $\text{[math]}$ 的左顶点引 $\text{[math]}$ 的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；

（2）设斜率为1的直线l交 $\text{[math]}$ 于P，Q两点，若l与圆 $\text{[math]}$ 相切，求证： $\text{[math]}$ ；

（3）设椭圆 $\text{[math]}$ ，若M，N分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上的动点，且 $\text{[math]}$ ，求证：O到直线MN的距离是定值．

【考点】

平面内点到直线的距离公式; 直线与圆锥曲线的综合问题;

【答案】

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解答题普通

1. 通过研究，已知对任意平面向量 $\text{[math]}$ ，把 $\text{[math]}$ 绕其起点A沿逆时针方向旋转 $\text{[math]}$ 角得到向量 $\text{[math]}$ ，叫做把点B绕点A逆时针方向旋转 $\text{[math]}$ 角得到点P，

(1) 已知平面内点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ，把点B绕点A逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到点P，求点P的坐标：

(2) 已知二次方程 $\text{[math]}$ 的图像是由平面直角坐标系下某标准椭圆 $\text{[math]}$ 绕原点O逆时针旋转 $\text{[math]}$ 所得的斜椭圆C，

（i）求斜椭圆C的离心率；

（ⅱ）过点 $\text{[math]}$ 作与两坐标轴都不平行的直线 $\text{[math]}$ 交斜椭圆C于点M、N，过原点O作直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 垂直，直线 $\text{[math]}$ 交斜椭圆C于点G、H，判断 $\text{[math]}$ 是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由.

解答题困难

2. 已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）过点 $\text{[math]}$ ，且离心率为 $\text{[math]}$ ．

(1) 求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；

(2) 记椭圆 $\text{[math]}$ 的上下顶点分别为 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 斜率为 $\text{[math]}$ 的直线与椭圆 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点，证明：直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的交点 $\text{[math]}$ 在定直线上，并求出该定直线的方程．

解答题困难

3. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的中心为坐标原点，左焦点为 $\text{[math]}$ ，渐近线方程为 $\text{[math]}$ .

(1) 求 $\text{[math]}$ 的方程；

(2) 若互相垂直的两条直线 $\text{[math]}$ 均过点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 两点，直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ 分别为弦 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的中点，直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ .

①求 $\text{[math]}$ ；

②记 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ .

解答题困难