如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且BE=CF，求证：△ABE≌△BCF．

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1. 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且BE=CF，求证：△ABE≌△BCF．

【考点】

三角形全等的判定; 正方形的性质;

【答案】

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证明题容易

基础巩固

能力提升

变式训练

拓展培优

真题演练

换一批

1. 点C是AE的中点，∠A＝∠ECD，AB＝CD，求证：△ABC≌△CDE.

证明题容易

2. 如图，点D，C分别在线段AB，AE上，ED与BC相交于O点，已知AB＝AE，请添加一个条件（不添加辅助线）使△ABC≌△AED，并说明理由.

解答题容易

3. 如图， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ ．

证明题容易

1. 如图，点E，F在AB上，AD=BC，∠A=∠B，AE=BF．求证：△ADF≌△BCE．

证明题普通

2. 下面是证明“等腰三角形的两个底角相等”的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．

已知：如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 求证： $\text{[math]}$ ．
方法一证明：如图，作 $\text{[math]}$ 的中线 $\text{[math]}$ ．	方法二证明：如图，作 $\text{[math]}$ 的角平分线 $\text{[math]}$ ．

证明题普通

3. 已知： $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点O， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 规范证明过程 $\text{[math]}$

证明：在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中，

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$ ▲

$\text{[math]}$ ▲ $\text{[math]}$ ▲

在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中，

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$ ▲

$\text{[math]}$ ．

证明题普通

1. 如图所示，正方形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，请添加一个条件：，使 $\text{[math]}$ ≌ $\text{[math]}$ 只添一个条件即可 $\text{[math]}$ ．

填空题普通

2. 如图，在正方形 $\text{[math]}$ 中，点P是对角线 $\text{[math]}$ 上一动点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，垂足分别为点M，N，连接 $\text{[math]}$ 并延长，交 $\text{[math]}$ 于点E．

小亮说：点P在运动过程中， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系为 $\text{[math]}$ ；

小莹说：点P在运动过程中， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的位置关系为 $\text{[math]}$ ．

小亮和小莹两人的发现，是对的（填“小亮”“小莹”“两人都”），并说明你的理由．

解答题普通

3. 如上图，点B、F、C、E都在一条直线上， $\text{[math]}$ ，添加下列一个条件后，仍无法判断 $\text{[math]}$ 的是（）

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题普通

1. 如图，直线 $\text{[math]}$ 与坐标轴分别交于点A ， B ，以OA为边在 $\text{[math]}$ 轴的右侧作正方形 $\text{[math]}$ .

图1 图2

(1) 求点A ， B的坐标；

(2) 如图，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 轴上一动点，点 $\text{[math]}$ 在AD的右侧， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

①探究发现，点E在一条定直线上，请直接写出该直线的解析式_▲_；

②若点 $\text{[math]}$ 是线段OB的中点，另一动点 $\text{[math]}$ 在直线BE上，且 $\text{[math]}$ ，请求出点 $\text{[math]}$ 的坐标.

综合题困难

2. 问题情境：

如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE（点A的对应点为点C）．延长AE交CE'于点F，连接DE．

猜想证明：

(1) 试判断四边形BE'FE的形状，并说明理由；

(2) 如图②，若DA＝DE，请猜想线段CF与E^'F的数量关系并加以证明；

(3) 解决问题：
如图①，若AB＝15，CF＝3，则DE＝ ▲ ．

实践探究题普通

3. 综合与实践

问题情境：第二十四届国际数学家大会合徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图1，在综合实践课上，同学们绘制了“弦图”并进行探究，获得了以下结论：该图是由四个全等的直角三角形（△DAE ， △ABF ， △BCG ， △CDH）和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD ，且∠ABF＞∠BAF ．

特殊化探究：连接BH ．设BF＝a ， AF＝b ．

“运河小组”从线段长度的特殊化提出问题：

(1) 若AB＝5，FG＝1，求△ABF的面积．

(2) “武林小组”从a与b关系的特殊化提出问题：

若b＝2a ，求证：∠BAE＝∠BHE ．

(3) 深入探究：老师进一步提出问题：

如图2，连接BE ，延长FA到点I ，使AI＝AB ，作矩形BFIJ ．设矩形BFIJ的面积为S₁ ，正方形ABCD的面积为S₂ ，若BE平分∠ABF ，求证：S₁＝S₂ ．

请你解答这三个问题．

实践探究题困难

1. 如图，在正方形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且EF＝2AE＝2CF，连接DE并延长交AB于点M，连接DF并延长交BC于点N，连接MN，则 $\text{[math]}$ （）

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. 1 D. $\text{[math]}$

单选题困难

2. 如图，在边长为3的正方形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上的点，且 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的垂线交正方形外角 $\text{[math]}$ 的平分线于点 $\text{[math]}$ ，交边 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交边 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为（）

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. 1

单选题困难

3. 如图，在边长为2的正方形 $\text{[math]}$ 中，点E，F分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 边上的动点（不与端点重合），连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，分别交对角线 $\text{[math]}$ 于点P，Q.点E，F在运动过程中，始终保持 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .下列结论：

① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ 为等腰直角三角形；⑤若过点B作 $\text{[math]}$ ，垂足为H，连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ ，其中所有正确结论的序号是.

填空题困难