如图，如图几何体是由若干棱长为的小立方体按一定规律在地面上摆成的，若将露出的表面都涂上颜色（底面不涂色），观察该图，探究其中的规律．（1）第个几何体中只有个面涂色的小立方体共有个．第个几何体中只有个面涂色的小立方体共有个．（2）求出第个几何体中只有个面涂色的小立方体的块数．（3）求出前个几何体中只有个面涂色的小立方体的块数和．

1. 小明用边长相等的等边三角形按如图所示的规律拼摆图案．若用含n的代数式表示第n个图案需要等边三角形的个数，给出下面五个代数式：

① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ；⑤ $\text{[math]}$ ，上述代数式中，正确代数式的序号有．

填空题容易

2. 黑白两种颜色、大小相同的正方形方砖，按如图所示的规律拼成若干个图案，则第10个图案中有黑色方砖个．

填空题容易

3. 如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础形组成，第3个图案由10个基础形组成， $\text{[math]}$ ，第2024个图案中的基础图形个数为．

填空题容易

材料一：一张等边三角形纸片剪成四个大小、形状一样的小等边三角形（如图一所示），记为第一次操作，得到4个较小的等边三角形；再将其右下角的等边三角形又按同样的方法剪成四小片，记为第二次操作，得到7个较小的等边三角形．若每次都把右下角的等边三角形按此方法剪成四小片，循环下去．

(1) 如果剪n次，共能得到个较小的等边三角形，

(2) 若原等边三角形的边长为1，设 $\text{[math]}$ 表示第n次所剪出的小等边三角形边长，如 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；试用含n的式子表示 $\text{[math]}$ ；

(3) 如图二所示，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是整体面积的一半，部分②是部分①面积的一半，依次类推．据此思想直接写出 $\text{[math]}$ ；

(4) 运用（2）的结论，计算 $\text{[math]}$ 的值．

解答题普通

2. 6个点最多可以连多少条线段？8个点呢？

点数
增加条数		2	3	4
总条数	1	3	6	10

3个点最多连成线段的条数： $\text{[math]}$ （条）

4个点最多连成线段的条数： $\text{[math]}$ （条）

5个点最多连成线段的条数： $\text{[math]}$ （条）

6个点最多连成线段的条数：______________________________．

8个点最多连成线段的条数：______________________________．

根据规律，想一想： $\text{[math]}$ 个点最多能连多少条线段？

解答题普通

3. 探究题：如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成8部分，部分1是边长为1的正方形纸片的一半，部分2是部分1面积的一半，部分3是部分2面积的一半，依此类推．

(1) 阴影部分的面积是；

(2) 受此启发，直接写出 $\text{[math]}$ ；

(3) 直接写出 $\text{[math]}$ ．（用含n的式子表示）

解答题普通

1. 下图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基本图形组成，第2个图案由7个基本图形组成，……那么第9个图案中，基本图形的个数是（）

A. 25 B. 27 C. 28 D. 31

单选题容易

2. 如图图形都是由●按照一定规律组成的，其中第①个图共有四个●，第②个图中共有8个●，第③个图中共有13个●，第④个图中共有19个●，…，照此规律排列下去，则第13个图形中●的个数为（）．

A. 92 B. 96 C. 103 D. 118

单选题困难

3. 下面是用棋子摆成的“小屋子”．摆第1个这样的“小屋子”需要5枚棋子，摆第2个这样的“小屋子”需要11枚棋子，摆第n个这样的“小屋子”需要枚棋子．

填空题普通

1. 如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推．

(1) 阴影部分的面积是______；

(2) 以下是甲，乙两位同学求 $\text{[math]}$ 的方法；

甲同学的方法：利用已给正方形图形求， $\text{[math]}$ ；

乙同学的方法： $\text{[math]}$ ①

$\text{[math]}$ ②

②－①即可．

根据两位同学的方法，你认为 $\text{[math]}$ ______；

(3) $\text{[math]}$ ______；

(4) 计算： $\text{[math]}$ ；

(5) 请借助甲，乙同学的方法，分别求出 $\text{[math]}$ 的值．

解答题困难

2. 某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列．

【观察思考】

当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块（如图2）：

(1) 当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有________块（如图3）；

(2) 以此类推，人行道上每增加1块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加________块；

(3) 【规律总结】若一条这样的人行道一共有 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为________（用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示）．

(4) 【问题解决】现有2022块等腰直角三角形地砖，若按此规律再建一条人行道，则需要正方形地砖多少块？

解答题困难

3.

(1) 【发现问题】如图，在数阵1中，第1行圆圈中的数为1，即 $\text{[math]}$ ；第2行两个圆圈中的数和为 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ；…；第 $\text{[math]}$ 行 $\text{[math]}$ 个圆圈中的数和为 $\text{[math]}$ ，即．这样，数阵1中共有个圆圈，数阵1中所有圆圈中的数之和可以表示为．

(2) 【解决问题】将数阵1旋转可得数阵2，将数阵2旋转可得数阵3，请仔细观察这三个数阵，并结合三个数阵，计算： $\text{[math]}$ ．（结果用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示）

(3) 【拓展应用】根据以上发现，计算： $\text{[math]}$ ．

实践探究题困难

1. 如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，一发光电子开始置于AB边的点P处，并设定此时为发光电子第一次与矩形的边碰撞，将发光电子沿着PR方向发射，碰撞到矩形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45°，若发光电子与矩形的边碰撞次数经过2019次后，则它与AB边的碰撞次数是.

填空题普通

2. 如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5个数是（）

A. 2 $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. 5 $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题普通

3. 幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图.如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中a的值为.

-1	-6	1
0	a	-4
-5	2	-3

填空题容易