阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设将原方程化为①，解得．当时当时，，原方程的解为阅读后解答问题：在由原方程得到方程①的过程中，利用法达到了降次的目的，体现了的数学思想；利用上述材料中的方法解方程：

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1. 阅读材料：为解方程 $\text{[math]}$ ，我们可以将 $\text{[math]}$ 视为一个整体，然后设 $\text{[math]}$ 将原方程化为 $\text{[math]}$ ①，解得 $\text{[math]}$ ．

当 $\text{[math]}$ 时 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ 原方程的解为 $\text{[math]}$

阅读后解答问题：

$\text{[math]}$ 在由原方程得到方程①的过程中，利用法达到了降次的目的，体现了的数学思想；

$\text{[math]}$ 利用上述材料中的方法解方程： $\text{[math]}$

【考点】

换元法解一元二次方程;

【答案】

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阅读理解普通

基础巩固

能力提升

变式训练

拓展培优

真题演练

换一批

1. 已知 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

解答题容易

2. 【阅读材料】解方程 $\text{[math]}$ ．

解：设 $\text{[math]}$ ，则原方程可变形为 $\text{[math]}$ ．

当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$

当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，此方程无实数根．

∴原方程的解为 $\text{[math]}$ ．我们将上述解方程的方法叫做换元法．

【问题解决】利用上述方法解方程 $\text{[math]}$ ．

计算题容易

1. 一般解方程的方法是消元或降次，请同学们认真阅读下面的材料，然后回答问题：

解方程 $\text{[math]}$ ，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设 $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ ，于是原方程可变为 $\text{[math]}$ ．

解得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

$\text{[math]}$ 原方程有四个根： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．我们把这种方法叫做换元法．

请同学们仿照上面阅读材料中的方法解方程 $\text{[math]}$

阅读理解普通

2. 阅读下面的材料，回答问题：

(1) 将关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ +bx+c＝0变形为 $\text{[math]}$ ＝-bx-c，就可以将x²表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”．

已知 $\text{[math]}$ -x-1＝0，用“降次法”求出 $\text{[math]}$ -3x+2020的值是．

(2) 解方程 $\text{[math]}$ ，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设 $\text{[math]}$ ＝y，那么 $\text{[math]}$ ，于是原方程可变为 $\text{[math]}$ （1），解得 $\text{[math]}$ ＝1， $\text{[math]}$ ＝4．

当y＝1时， $\text{[math]}$ ＝1，∴x＝±1；

当y＝4时， $\text{[math]}$ ＝4，∴x＝±2；

∴原方程有四个根 $\text{[math]}$ ．

请你用（2）中的方法求出方程 $\text{[math]}$ 的实数解．

阅读理解普通

3. 请你先认真阅读下列材料，再参照例子解答问题：

已知 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

解：设 $\text{[math]}$ ，则原方程可变形为 $\text{[math]}$ .即 $\text{[math]}$

∴ $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

∴ $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$

已知 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

阅读理解普通

1. 为了解方程 $\text{[math]}$ ，我们可以将 $\text{[math]}$ 看作一个整体，然后设 $\text{[math]}$ ，那么原方程可化为 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ，

当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ， ∴ $\text{[math]}$ ， ∴ $\text{[math]}$ ；

故原方程的解为 $\text{[math]}$ ．

以上方法叫换元法，利用换元法可以达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．请仿照上述方法求出方程 $\text{[math]}$ 的解为．

填空题普通

2. 已知方程 $\text{[math]}$ 的解是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则方程 $\text{[math]}$ 的解．

填空题普通

3. 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A. $\text{[math]}$ 或1 B. $\text{[math]}$ C. 1 D. 3或1

单选题普通

1. 材料：为解方程 $\text{[math]}$ ，可设 $\text{[math]}$ ，于是原方程可化为 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 不合题意舍去；当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，故原方程的根为： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

请你参照材料给出的解题方法，解下列方程：

(1) $\text{[math]}$ ；

(2) $\text{[math]}$ ．

解答题普通

2. 阅读下面的材料，回答问题：

解方程 $\text{[math]}$ ，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：

设 $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ ，于是原方程可变为 $\text{[math]}$ ①，解得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

$\text{[math]}$ 原方程有四个根： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

这一方法，在由原方程得到方程①的过程中，利用“换元法”达到降次的目的，体现了数学的转化思想．

(1) 方程 $\text{[math]}$ 的解为________．

(2) 仿照材料中的方法，尝试解方程 $\text{[math]}$ ．

解答题普通

3. 阅读材料，解答问题：

材料1：为了解方程 $\text{[math]}$ ，如果我们把 $\text{[math]}$ 看作一个整体，然后设 $\text{[math]}$ ，则原方程可化为 $\text{[math]}$ ，经过运算，原方程的解为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．

材料2：已知实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，显然 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是方程 $\text{[math]}$ 的两个不相等的实数根，由韦达定理可知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

根据上述材料，解决以下问题：

(1) 直接应用：

方程 $\text{[math]}$ 的解为________；

(2) 问接应用：

已知实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

(3) 拓展应用：

已知实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

计算题困难

1. 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

填空题普通

2. 阅读材料，解答问题：

材料1

为了解方程 $\text{[math]}$ ，如果我们把 $\text{[math]}$ 看作一个整体，然后设 $\text{[math]}$ ，则原方程可化为 $\text{[math]}$ ，经过运算，原方程的解为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．