解:设 , 则原方程可变形为 .
当时,
当时, , 此方程无实数根.
∴原方程的解为 . 我们将上述解方程的方法叫做换元法.
【问题解决】利用上述方法解方程 .
解方程 , 这是一个一元四次方程,根据该方程的特点,它的解法通常是:
设 , 那么 , 于是原方程可变为①,解得 , .
当时, , ;
原方程有四个根: , , , .
这一方法,在由原方程得到方程①的过程中,利用“换元法”达到降次的目的,体现了数学的转化思想.
当时, , 解得:;
所以原方程的解为: .
材料:为解方程x4-x2-6=0,可将方程变形为(x2)2-x2-6=0,然后设x2=y,则(x2)2=y2 , 原方程化为y2-y-6=0①,
解得y1=-2,y2=3.
当y1=-2时,x2=-2无意义,舍去;当y2=3时,x2=3,解得x=±.
所以,原方程的解为x1= , x2=-.
问题:
(1)在由原方程得到方程①的过程中,利用 法达到了降次的目的,体现了 的数学思想;
(2)利用本题的解题方法,解方程(x2-x)2-4(x2-x)-12=0.
当时, , ∴ , ∴;
故原方程的解为 .
以上方法叫换元法,利用换元法可以达到简化或降次的目的,体现了转化的思想.请仿照上述方法求出方程的解为.
请你参照材料给出的解题方法,解下列方程:
材料1:为了解方程 , 如果我们把看作一个整体,然后设 , 则原方程可化为 , 经过运算,原方程的解为 , . 我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法.
材料2:已知实数 , 满足 , , 且 , 显然 , 是方程的两个不相等的实数根,由韦达定理可知 , .
根据上述材料,解决以下问题:
方程的解为________;
已知实数 , 满足: , 且 , 求的值;
已知实数 , 满足: , 且 , 求的值.
问题:解方程 (提示:可以用换元法解方程),
解:设 ,则有 ,
原方程可化为: ,
续解: