如图，抛物线y=ax2+bx(a＜0）过点E(10，0)，矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设A(t，0)，当t=2时，AD=4．（1）求抛物线的函数表达式．（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？（3）保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．

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1. 如图，抛物线y=ax²+bx(a＜0）过点E(10，0)，矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设A(t，0)，当t=2时，AD=4．

（1）求抛物线的函数表达式．

（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？

（3）保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．

【考点】

二次函数的最值; 待定系数法求二次函数解析式;

【答案】

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解答题普通

基础巩固

能力提升

变式训练

拓展培优

真题演练

换一批

1. 已知二次函数的顶点坐标为 $\text{[math]}$ ，且经过点 $\text{[math]}$ ，求该二次函数的解析式；

解答题容易

2. 抛物线 $\text{[math]}$ 经过 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三点，求抛物线的解析式．

计算题容易

3. 某二次函数的图象的顶点坐标是 $\text{[math]}$ ，且经过点 $\text{[math]}$ ，求这个二次函数的解析式．

计算题容易

1. 如图，抛物线y＝－ $\text{[math]}$ x²＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA＝2，OC＝3．

（1）求抛物线的解析式．

（2）点D（2，2）是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使得△BDP的周长最小，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解答题普通

2. 已知二次函数图象 $\text{[math]}$ 经过 $\text{[math]}$ ．

(1) 求二次函数的表达式；

(2) 设点 $\text{[math]}$ 在该二次函数图象上，求 $\text{[math]}$ 的最小值．

解答题普通

3. “距离”是数学研究的重要对象，如我们所熟悉的两点间的距离．现在我们定义一种新的距离：已知P（a，b），Q（c，d）是平面直角坐标系内的两点，我们将 $\text{[math]}$ 称作P，Q间的“L型距离”，记作L（P，Q），即 $\text{[math]}$ ．

已知二次函数 $\text{[math]}$ 的图像经过平面直角坐标系内的A，B，C三点，其中A，B两点的坐标为A（－1，0），B（0，3），点C在直线x＝2上运动，且满足 $\text{[math]}$ ．

(1) 求L（A，B）；

(2) 求抛物线 $\text{[math]}$ 的表达式；

(3) 已知 $\text{[math]}$ 是该坐标系内的一个一次函数．

①若D，E是 $\text{[math]}$ 图像上的两个动点，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 面积的最大值；

②当 $\text{[math]}$ 时，若函数 $\text{[math]}$ 的最大值与最小值之和为8，求实数t的值．

解答题困难

1. 小梦同学观察下表数列的前五个数时，发现a_n是n的二次函数．设S= $\text{[math]}$ ，下列说法正确的是（）

n	1	2	3	4	5	…	n
数列	-5	-2	0	1	1	…	a_n

A. S有最大值为1 B. 当n=10时，S=-14 C. S有最小值为-5 D. 当n=15时，S= $\text{[math]}$

单选题普通

2. 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于A ， B两点（点A在B的左侧），点C为抛物线上任意一点（不与A ， B重合）， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 边上的高线，抛物线顶点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 的最小距离为1，则抛物线解析式为．

填空题普通

3. 已知 $\text{[math]}$ ，则当 $\text{[math]}$ 时，y有最大值是．

填空题容易

1. 已知抛物线 $\text{[math]}$ （a，b为常数， $\text{[math]}$ ）交x轴于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，交y轴于点C．

(1) 求该抛物线的解析式；

(2) 点P为第四象限内该抛物线上一点，连接 $\text{[math]}$ ，过点C作CQ//BP交x轴于点Q，连接 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 面积的最大值及此时点P的坐标；

(3) 在（2）的条件下，将抛物线 $\text{[math]}$ 向右平移经过点 $\text{[math]}$ 时，得到抛物线 $\text{[math]}$ ．设E是抛物线 $\text{[math]}$ 对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F，使得以A，P，E，F为顶点的四边形为矩形，若存在，请求出点F的坐标，若不存在，请说明理由．

解答题困难

2. 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（－4，0），B（0，－4），C（2，0）三点．

(1) 求抛物线的解析式；

(2) 若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．

(3) 若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝－x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、 O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．

解答题普通

3. 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是抛物线上的任意一点（不与点 $\text{[math]}$ 重合），点 $\text{[math]}$ 的横坐标为 $\text{[math]}$ ，拋物线上点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 之间的部分（包含端点）记为图象 $\text{[math]}$ ．

(1) 求抛物线的解析式；

(2) 若点 $\text{[math]}$ 位于线段 $\text{[math]}$ 上方，求 $\text{[math]}$ 面积的最大值；

(3) 若图象 $\text{[math]}$ 的最大值与最小值的差为4，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

解答题困难

1. 如图是二次函数 $\text{[math]}$ 的图像，该函数的最小值是．

填空题普通

2. 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 经过x轴上的点A（1，0）和点B及y轴上的点C，经过B、C两点的直线为 $\text{[math]}$ ．

①求抛物线的解析式．

②点P从A出发，在线段AB上以每秒1个单位的速度向B运动，同时点E从B出发，在线段BC上以每秒2个单位的速度向C运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t秒，求t为何值时，△PBE的面积最大并求出最大值．

③过点A作 $\text{[math]}$ 于点M，过抛物线上一动点N（不与点B、C重合）作直线AM的平行线交直线BC于点Q．若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点N的横坐标．

解答题困难

3. 二次函数y=ax²+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表：

x	…	﹣5	﹣4	﹣3	﹣2	﹣1	0	…
y	…	4	0	﹣2	﹣2	0	4	…

下列说法正确的是（　　）

A. 抛物线的开口向下 B. 当x＞﹣3时，y随x的增大而增大 C. 二次函数的最小值是﹣2 D. 抛物线的对称轴是x=﹣ $\text{[math]}$

单选题普通