小雁塔位于西安市南郊的荐福寺内，又称“荐福寺塔”，是中国早期方形密檐式砖塔的典型作品，数学活动小组的同学对该塔进行了测量，测量方法如下：如图，小鑫在小雁塔的影子顶端处竖直立一根木棒，并测得此时木棒的影长，然后，小鑫在的延长线上找出一点，使得、、三点在同一直线上，并测得，已知图中所有点均在同一平面内，木棒，，，请根据以上测量数据，求小雁塔的高度．

1. 在数学活动课上，同学们分组测量学校旗杆的高度，经过交流、研讨及测量给出如下两种方案，请你选择一种方案求出旗杆的高度．

方案一：在某一时刻，借助太阳光线，测得小华的身高 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 米，他的影长 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 米，同时测得旗杆 $\text{[math]}$ 的影长 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 米．

方案二：利用“光在反射时，反射角等于入射角”的规律，小丽在她的脚下 $\text{[math]}$ 点放了一面小镜子，然后向后退 $\text{[math]}$ 米到达点 $\text{[math]}$ ，恰好在小镜子中看到旗杆的顶端 $\text{[math]}$ ，此时旗杆底端 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ 的距离 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 米，小丽的眼睛点 $\text{[math]}$ 到地面的距离 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 米．

综合题容易

2. 江老师有一天为了测量一棵高不可攀的银杏树高度，他利用了反射定律，利用一面镜子和皮尺，设计如图所示的测量方案：把镜子放在离银杏树 $\text{[math]}$ 的点 $\text{[math]}$ 处，然后观测者沿着直线 $\text{[math]}$ 后退到点 $\text{[math]}$ ，这时恰好在镜子里看到树梢顶点 $\text{[math]}$ ，再用皮尺量得 $\text{[math]}$ ，观测者目高 $\text{[math]}$ ，则树高 $\text{[math]}$ 约是多少 $\text{[math]}$ ?

解答题容易

3. 小华和小林想用标杆来测量如图1所示的古塔的高，如图2，小林在F处竖立了一根标杆 $\text{[math]}$ ，小华走到C处时，站立在C处恰好看到标杆顶端E和塔的顶端B在一条直线上，此时测得小华的眼睛到地面的距离 $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 米，点C、F、A在一条直线上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，根据以上测量数据，请你求出该塔的高AB．

解答题容易

1. 法门寺位于炎帝故里、青铜器之乡——宝鸡市扶风县，始建于东汉末年桓灵年间，距今约有1700多年历史，法门寺被誉为“关中塔庙始祖”，其中的“真身宝塔”是全国重点保护文物．某数学兴趣小组开展了“测量真身宝塔高度”的实践活动，在点C处垂直于地面竖立一根高度为2米的标杆 $\text{[math]}$ ，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，宝塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得 $\text{[math]}$ 米，将标杆 $\text{[math]}$ 向右平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，宝塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得 $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 米．请你根据以上数据，计算真身宝塔的高度 $\text{[math]}$ ．

综合题普通

2. 小安和大智想利用所学的几何知识测量一座古塔的高度，测量方案如下：如图，小安位于大智和古塔之间，直线 $\text{[math]}$ 上平放一平面镜，在镜面上做一个标记，记为点C，镜子不动，小安看着镜面上的标记来回走动，走到点D时，看到塔顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合，此时测得小安眼睛与地面的高度 $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 米．同时，在阳光下，古塔 $\text{[math]}$ 的影子与大智的影子顶端H恰好重合，测得大智身高 $\text{[math]}$ 为1.8米，影长 $\text{[math]}$ 为3.6米，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 米，A、H、G三点共线，且测量时所用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据图中提供的相关信息，求出古塔 $\text{[math]}$ 的高度．

综合题普通

3. 在一个周末晚上，甲和乙两位同学借鉴课本中《海岛算经》所学的测量方法，利用灯光下的影子长来测量一路灯高度．如图，在一水平的人行道路上，当甲走到点 $\text{[math]}$ 处时，乙测得甲直立时身高 $\text{[math]}$ 的影子 $\text{[math]}$ 长是 $\text{[math]}$ ，然后甲从 $\text{[math]}$ 出发沿 $\text{[math]}$ 方向继续向前走 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ 处时，乙测得甲直立时身高 $\text{[math]}$ 的影子 $\text{[math]}$ 长是 $\text{[math]}$ ．已知甲同学直立时的身高为 $\text{[math]}$ ，求路灯离地面的高度 $\text{[math]}$ ．

综合题普通

1. 我国魏晋时期数学家刘徽编撰的最早一部测量数学著作《海岛算经》中有一题：今有望海岛，立两表齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直．从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合．从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合．问岛高几何？

译文：今要测量海岛上一座山峰 $\text{[math]}$ 的高度，在B处和D处树立标杆 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，标杆的高都是3丈，B和D两处相隔 $\text{[math]}$ 步（1丈=10尺，1步=6尺），并且 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 在同一平面内．从标杆 $\text{[math]}$ 后退123步的F处可以看到顶峰A和标杆顶端C在同一直线上；从标杆 $\text{[math]}$ 后退127步的G处可以看到顶峰A和标杆顶端E在同一直线上．则山峰 $\text{[math]}$ 的高度是．

填空题困难

2. 如图①所示，“矩”在古代指两条边成直角的曲尺，它的两边长分别为a，b，中国古老的天文和数学著作《周髀算经》中简明扼要地阐述了“矩”的功能，如“偃矩以望高”的意思就是把“矩”仰立放可测物体的高度，如图②所示，从“矩” $\text{[math]}$ 的一端A望向树顶端的点C，使视线通过“矩”的另一端E，测得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若“矩”的边 $\text{[math]}$ ，边 $\text{[math]}$ ，则树高CD为m．

填空题容易

3. 约在两千五百年前，如图（1），墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”；如图（2）所示的小孔成像实验中，若物距为 $\text{[math]}$ ，像距为 $\text{[math]}$ ，蜡烛火焰倒立的像的高度是 $\text{[math]}$ ，则蜡烛火焰的高度是（）

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题容易

1. 小红学习了平面镜成像原理后，利用这一原理测量一古楼 $\text{[math]}$ 的高度，在水平面 $\text{[math]}$ 的点E处放一平面镜（ $\text{[math]}$ 为法线）（ $\text{[math]}$ 为眼睛到脚底的高度）恰好能看到古楼最高点A处，测得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．（参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，结果保留整数）

(1) 求 $\text{[math]}$ 之间的距离；

(2) 求古楼 $\text{[math]}$ 的高度．

解答题普通

2. 一块材料的形状是锐角三角形ABC ，下面分别对这块材料进行课题探究：

(1) 课本再现

在图1中，若边 $\text{[math]}$ ，高 $\text{[math]}$ ，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB ， AC上，这个正方形零件的边长是多少?

(2) 类比探究

如图2，若这块锐角三角形ABC材料可以加工成3个相同大小的正方形零件，请你探究高AD与边BC的数量关系，并说明理由．

(3) 拓展延伸

①如图3，若这块锐角三角形ABC材料可以加工成图中所示的4个相同大小的正方形零件，则 $\text{[math]}$ 的值为 ▲ （直接写出结果）；

②如图4，若这块锐角三角形ABC材料可以加工成图中所示的 $\text{[math]}$ 相同大小的正方形零件，求 $\text{[math]}$ 的值．

实践探究题困难

3. 为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法．

(1) 如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长 $\text{[math]}$ 恰好等于自己的身高 $\text{[math]}$ ．此时，小组同学测得旗杆 $\text{[math]}$ 的影长 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ，据此可得旗杆高度为m；

(2) 如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C ，并通过镜面观测到旗杆顶部A ．小组同学测得小李的眼睛距地面高度 $\text{[math]}$ ，小李到镜面距离 $\text{[math]}$ ，镜面到旗杆的距离 $\text{[math]}$ ．求旗杆高度；

(3) 小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下：

如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M ， N两点始终处于同一水平线上．

如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q ，标高线 $\text{[math]}$ 始终垂直于水平地面．

如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D ， G两点，并标记观测视线 $\text{[math]}$ 与标高线交点C ，测得标高 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．将观测点D后移 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 处，采用同样方法，测得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．求雕塑高度（结果精确到 $\text{[math]}$ ）．

解答题普通

1. 如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC＝120mm ，高AD＝80mm ，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少mm ．

解答题普通

2. 如图▱ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使 $\text{[math]}$ ，连结EF交DC于点G，则 $\text{[math]}$ ＝（）

A. 2：3 B. 3：2 C. 9：4 D. 4：9

单选题困难

3. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”

用今天的话说，大意是：如图， $\text{[math]}$ 是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门 $\text{[math]}$ 位于 $\text{[math]}$ 的中点，南门 $\text{[math]}$ 位于 $\text{[math]}$ 的中点，出东门15步的 $\text{[math]}$ 处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于 $\text{[math]}$ 处的树木（即点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上）？请你计算 $\text{[math]}$ 的长为步．

填空题普通