如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC＝120mm ，高AD＝80mm ，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少mm ．

1. 为了估计河的宽度，勘测人员在河的对岸选定一个目标点A ，在近岸分别取点B、D、E、C ，使点A、B、D在一条直线上，且AD⊥DE ，点A、C、E也在一条直线上，且DE∥BC ．经测量BC＝25米，BD＝12米，DE＝40米，求河的宽度AB为多少米？

解答题容易

2. 《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D点观察井内水岸C点，视线DC与井口的直径AB交于点E．如果测得AB＝1.8米，BD＝1米，BE＝0.2米．请求出井深AC的长．

解答题容易

3. 在古代的《九章算术》中有一道题：今有勾五步，股 $\text{[math]}$ 步，问勾中容方几何？意思是：如图，在 $\text{[math]}$ 中，短直角边 $\text{[math]}$ 步，长直角边 $\text{[math]}$ 步，正方形有两边在两直角边上，一个顶点在斜边上．这个正方形 $\text{[math]}$ 的边长为多少？

解答题容易

1. 为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法．

(1) 如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长 $\text{[math]}$ 恰好等于自己的身高 $\text{[math]}$ ．此时，小组同学测得旗杆 $\text{[math]}$ 的影长 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ，据此可得旗杆高度为m；

(2) 如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C ，并通过镜面观测到旗杆顶部A ．小组同学测得小李的眼睛距地面高度 $\text{[math]}$ ，小李到镜面距离 $\text{[math]}$ ，镜面到旗杆的距离 $\text{[math]}$ ．求旗杆高度；

(3) 小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下：

如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M ， N两点始终处于同一水平线上．

如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q ，标高线 $\text{[math]}$ 始终垂直于水平地面．

如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D ， G两点，并标记观测视线 $\text{[math]}$ 与标高线交点C ，测得标高 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．将观测点D后移 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 处，采用同样方法，测得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．求雕塑高度（结果精确到 $\text{[math]}$ ）．

解答题普通

2. 如图 $\text{[math]}$ ，广场上有一盏高为 $\text{[math]}$ 的路灯 $\text{[math]}$ ，把灯 $\text{[math]}$ 看作一个点光源，身高 $\text{[math]}$ 的女孩站在离路灯 $\text{[math]}$ 的点 $\text{[math]}$ 处 $\text{[math]}$ 图 $\text{[math]}$ 为示意图，其中 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在一条直线上，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 求女孩的影子 $\text{[math]}$ 的长．

(2) 若女孩以 $\text{[math]}$ 为半径绕着路灯顺时针走一圈 $\text{[math]}$ 回到起点 $\text{[math]}$ ，求人影扫过的图形的面积 $\text{[math]}$ 取 $\text{[math]}$

解答题普通

3. 图1是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究.数学兴趣小组也类比进行了如下探究：如图2，正八边形游乐城 $\text{[math]}$ ，的边长为长 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，南门 $\text{[math]}$ 设立在 $\text{[math]}$ 边的正中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路 $\text{[math]}$ 在BM上（门宽及门与道路间距离忽略不计），东侧有一条南北走向的道路BC，C处有一座雕塑．在 $\text{[math]}$ 处测得雕塑在北偏东 $\text{[math]}$ 方向上，在 $\text{[math]}$ 处测得雕塑在北偏东 $\text{[math]}$ 方向上．

(1) $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ；

(2) 求点 $\text{[math]}$ 到道路BC的距离；

(3) 若该小组成员小李出南门O后沿道路MB向东行走，求她离 $\text{[math]}$ 处不超过多少千米，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响?

（结果精确到 $\text{[math]}$ ，参考数据： $\text{[math]}$ ）

解答题普通

1. 大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验（如图1），解释了小孔成倒像的原理，并在《墨经》中有这样的记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．物理课上，小明记录了他和同桌所做的小孔成像实验数据（如图2）：物距为 $\text{[math]}$ ，像距为 $\text{[math]}$ ，蜡烛火焰倒立的像的高度是 $\text{[math]}$ ，则蜡烛火焰的高度是（）

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题普通

2. 如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸岸边每隔5m有一棵树，小华站在离南岸20m的点P处看北岸，在两棵树之间的空隙中，恰好看见一条龙舟的龙头和龙尾（假设龙头、龙尾和小华的眼睛位于同一水平平面内），已知龙舟的长为18.5m，若龙舟行驶在河的中心，且龙舟与河岸平行，则河宽为m．

填空题普通

3. 常言道：失之毫厘，谬以千里．当人们向太空发射火箭或者描述星际位置时，需要非常准确的数据． $\text{[math]}$ 的角真的很小．把整个圆等分成360份，每份这样的弧所对的圆心角的度数是 $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ ．若一个等腰三角形的腰长为1千米，底边长为4.848毫米，则其顶角的度数就是 $\text{[math]}$ ．太阳到地球的平均距离大约为 $\text{[math]}$ 千米．若以太阳到地球的平均距离为腰长，则顶角为 $\text{[math]}$ 的等腰三角形底边长为（　　）

A. 24.24千米 B. 72.72千米 C. 242.4千米 D. 727.2千米

单选题普通

1. 小红学习了平面镜成像原理后，利用这一原理测量一古楼 $\text{[math]}$ 的高度，在水平面 $\text{[math]}$ 的点E处放一平面镜（ $\text{[math]}$ 为法线）（ $\text{[math]}$ 为眼睛到脚底的高度）恰好能看到古楼最高点A处，测得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．（参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，结果保留整数）

(1) 求 $\text{[math]}$ 之间的距离；

(2) 求古楼 $\text{[math]}$ 的高度．

解答题普通

2. 一块材料的形状是锐角三角形ABC ，下面分别对这块材料进行课题探究：

(1) 课本再现

在图1中，若边 $\text{[math]}$ ，高 $\text{[math]}$ ，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB ， AC上，这个正方形零件的边长是多少?

(2) 类比探究

如图2，若这块锐角三角形ABC材料可以加工成3个相同大小的正方形零件，请你探究高AD与边BC的数量关系，并说明理由．

(3) 拓展延伸

①如图3，若这块锐角三角形ABC材料可以加工成图中所示的4个相同大小的正方形零件，则 $\text{[math]}$ 的值为 ▲ （直接写出结果）；

②如图4，若这块锐角三角形ABC材料可以加工成图中所示的 $\text{[math]}$ 相同大小的正方形零件，求 $\text{[math]}$ 的值．

实践探究题困难

3. 为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法．

(1) 如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长 $\text{[math]}$ 恰好等于自己的身高 $\text{[math]}$ ．此时，小组同学测得旗杆 $\text{[math]}$ 的影长 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ，据此可得旗杆高度为m；

(2) 如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C ，并通过镜面观测到旗杆顶部A ．小组同学测得小李的眼睛距地面高度 $\text{[math]}$ ，小李到镜面距离 $\text{[math]}$ ，镜面到旗杆的距离 $\text{[math]}$ ．求旗杆高度；

(3) 小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下：

如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M ， N两点始终处于同一水平线上．

如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q ，标高线 $\text{[math]}$ 始终垂直于水平地面．

如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D ， G两点，并标记观测视线 $\text{[math]}$ 与标高线交点C ，测得标高 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．将观测点D后移 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 处，采用同样方法，测得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．求雕塑高度（结果精确到 $\text{[math]}$ ）．

解答题普通

1. 如图▱ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使 $\text{[math]}$ ，连结EF交DC于点G，则 $\text{[math]}$ ＝（）

A. 2：3 B. 3：2 C. 9：4 D. 4：9

单选题困难

2. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”

用今天的话说，大意是：如图， $\text{[math]}$ 是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门 $\text{[math]}$ 位于 $\text{[math]}$ 的中点，南门 $\text{[math]}$ 位于 $\text{[math]}$ 的中点，出东门15步的 $\text{[math]}$ 处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于 $\text{[math]}$ 处的树木（即点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上）？请你计算 $\text{[math]}$ 的长为步．

填空题普通