在证明等腰三角形的判定定理时，甲、乙、丙三位同学各添加一条辅助线，方法如图所示你能用哪位同学添加辅助线的方法完成证明，请选择一种方法补全证明过程．等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等简写成“等角对等边”已知：如图，在中，求证：．甲的方法：证明：作的平分线交于点．乙的方法：证明：作于点．丙的方法：证明：取中点，连接．

1. 在证明等腰三角形的判定定理时，甲、乙、丙三位同学各添加一条辅助线，方法如图所示 $\text{[math]}$ 你能用哪位同学添加辅助线的方法完成证明，请选择一种方法补全证明过程．

等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等 $\text{[math]}$ 简写成“等角对等边” $\text{[math]}$ 已知：如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 求证： $\text{[math]}$ ．
甲的方法：证明：作 $\text{[math]}$ 的平分线交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．	乙的方法：证明：作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．	丙的方法：证明：取 $\text{[math]}$ 中点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

【考点】

三角形全等的判定-AAS;

【答案】

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实践探究题普通

基础巩固

能力提升

变式训练

拓展培优

真题演练

换一批

1. 如图， $\text{[math]}$ ，垂足分别为C ， D ， AC与BD交于点O ， $\text{[math]}$ ，求证：． $\text{[math]}$ ．

证明题容易

2. 如图，已知：在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中，点A、E、F、C在同一直线上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .求证： $\text{[math]}$ .

解答题容易

3. 如图，AC是∠BAE的平分线，点D是线段AC上的一点，∠C＝∠E，AB＝AD．求证：△ABC≌△ADE．

证明题容易

(1) 某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC ，直线l经过点A ， BD⊥直线l ， CE⊥直线l ，垂足分别为点D、E ．证明：DE＝BD+CE ．

(2) 组员小明想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC ， D ， A ， E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α ，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．

(3) 数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG ， AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I ，求证：I是EG的中点．

实践探究题困难

2. （1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，直线l经过点A， $\text{[math]}$ 直线l， $\text{[math]}$ 直线l，垂足分别为点D、E．证明： $\text{[math]}$ ．

（2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， D、A、E三点都在直线l上，并且有 $\text{[math]}$ ，其中α为任意锐角或钝角．请问结论 $\text{[math]}$ 是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．

（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 向外作等腰 $\text{[math]}$ 和等腰 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上的高，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点I，求证：I是 $\text{[math]}$ 的中点．

实践探究题困难

3. 如图

(1) 【问题解决】

已知△ABC中，AB=AC，D，A，E三点都在直线l上，且有∠BDA=∠AEC=∠BAC．如图①，当∠BAC=90°时，线段DE，BD，CE的数量关系为：；

(2) 【类比探究】

如图②，在（1）的条件下，当0°<∠BAC<180°时，线段DE，BD，CE的数量关系是否变化，若不变，请证明：若变化，写出它们的关系式；

(3) 【拓展应用】

如图③，AC=BC，∠ACB=90°，点C的坐标为（-2，0），点B的坐标为（1，2），请求出点A的坐标．

实践探究题困难

1. 如图，在 $\text{[math]}$ 中，高 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 交于点H ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

填空题普通

2. 两角及其中一个角的对应相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或“”).

基础知识填空容易

3. 如图，在长方形ABCD中，AD=10cm，点E在边AB上，且BE=6cm.点P，Q分别在BC，CD上.当∠BEP=∠CPQ时，要使△BPE与△CQP全等，CQ=cm.

填空题普通

1. 【综合与实践】

在一次综合实践活动课上，郑老师给每位同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何仅通过折纸的方法来确定正方形一边上的一个三等分点．

【操作探究】

“励志”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：

第1步：如图1所示，先将正方形纸片 $\text{[math]}$ 对折，使点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合，然后展开铺平，折痕为 $\text{[math]}$ ；

第2步：将 $\text{[math]}$ 边沿 $\text{[math]}$ 解析到 $\text{[math]}$ 的位置；

第3步：延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边的三等分点．

证明过程如下：连接 $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ 正方形 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠

$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，

又 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ △ $\text{[math]}$ △ $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ ．设 $\text{[math]}$ （个单位）， $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，

$\text{[math]}$ ▲ ，

$\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ △ $\text{[math]}$ 中，可列方程： ▲ ，

解得： $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边的三等分点．

“励志”小组是这样操作的：

第1步：如图2所示，先将正方形纸片对折，使点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合，然后展开铺平，折痕为 $\text{[math]}$ ；

第2步：再将正方形纸片对折，使点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合，再展开铺平，折痕为 $\text{[math]}$ ，沿 $\text{[math]}$ 翻折得折痕 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ；

第3步：过点 $\text{[math]}$ 折叠正方形纸片 $\text{[math]}$ ，使折痕 $\text{[math]}$ ．

(1) 【过程思考】①“励志”小组的证明过程中，①处的值为 ▲ ；②处的方程是 ▲ ；

②结合“励志”小组操作过程，判断点 $\text{[math]}$ 是否为 $\text{[math]}$ 边的三等分点，并证明你的结论；

(2) 【拓展提升】①如图3，将矩形纸片 $\text{[math]}$ 对折，使点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 重合，展开铺平，折痕为 $\text{[math]}$ ，将△ $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折得到△ $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 折叠矩形纸片，使折痕 $\text{[math]}$ ，若点 $\text{[math]}$ 为边 $\text{[math]}$ 的三等分点，请求出 $\text{[math]}$ 的值．

②如图4，在菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上的一个三等分点，记点 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的对称点为 $\text{[math]}$ ，射线 $\text{[math]}$ 与菱形 $\text{[math]}$ 的边交于点 $\text{[math]}$ ，请直接写出 $\text{[math]}$ 的长．

实践探究题困难

2. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与边AB和边CD的延长线交于点M，N，与边AD交于点E，垂足为点O．

(1) 求证：△AOM≌△CON；

(2) 若AB＝4，AD＝8，求AE的长．

综合题普通

3. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，分别过点A，C作 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，垂足分别为E，F.AC平分 $\text{[math]}$ .

(1) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数；

(2) 求证： $\text{[math]}$ .

综合题普通

1. 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中，点E在边 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 对称，点B的对称点F在边 $\text{[math]}$ 上，G为 $\text{[math]}$ 中点，连结 $\text{[math]}$ 分别与 $\text{[math]}$ 交于M，N两点，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为， $\text{[math]}$ 的值为.

填空题困难

2. 如图，已知四边形ABCD是正方形，G为线段AD上任意一点， $\text{[math]}$ 于点E， $\text{[math]}$ 于点F.求证： $\text{[math]}$ .

证明题普通

3. 如图， $\text{[math]}$ 是等腰直角三角形，直角顶点与坐标原点重合，若点B在反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象上，则经过点A的反比例函数表达式为．

填空题普通

等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等 $\text{[math]}$ 简写成“等角对等边” $\text{[math]}$ 已知：如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 求证： $\text{[math]}$ ．
甲的方法：证明：作 $\text{[math]}$ 的平分线交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．	乙的方法：证明：作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．	丙的方法：证明：取 $\text{[math]}$ 中点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．