鲁班锁是我国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中的榫卯结构，其内部的凹凸部分啮合十分精巧.图1是一种鲁班锁玩具，图2是其直观图.它的表面由八个正三角形和六个正八边形构成，其中每条棱长均为2.若该玩具可以在一个正方体内任意转动（忽略摩擦），则此正方体表面积的最小值为（）

1. 若圆柱的上､下底面的圆周都在一个半径为2的球面上，则该圆柱侧面积的最大值为（）

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题容易

2. 在△ABC中，已知AB⊥BC，AB=BC=2.现将△ABC绕边AC旋转一周，则所得到的旋转体的表面积是（）

A. 2π B. 2 $\text{[math]}$ π C. 3 $\text{[math]}$ π D. 4 $\text{[math]}$ π

单选题容易

3. 圆锥的轴截面为面积为2的直角三角形，则圆锥的侧面积为（）

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题容易

1. 已知圆柱的上、下底面的中心分别为O₁ ， O₂ ，过直线O₁O₂的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（）

A. $\text{[math]}$ B. 12π C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题普通

2. 若一个圆锥的轴截面是一个腰长为 $\text{[math]}$ ，底边上的高为1的等腰三角形，则该圆锥的侧面积为（）

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题普通

3. 已知圆锥的母线长为2，侧面积为 $\text{[math]}$ ，则过顶点的截面面积的最大值等于（）

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. 3 D. 2

单选题普通

1. 底面半径为4的圆锥被平行于底面的平面所截，截去一个底面半径为1，母线长为3的圆锥，则所得圆台的侧面积为.

填空题普通

2. 如图，某学具可看成将一个底面半径与高都为 $\text{[math]}$ 的圆柱挖去一个圆锥（此圆锥的顶点是圆柱的下底面圆心、底面是圆柱的上底面）所得到的几何体，则该学具的表面积为 $\text{[math]}$ ．

填空题普通

3. 有书记载等角半正多面体是以边数不全相同的正多边形为面的多面体，如图，将正四面体沿相交于同一个顶点的三条梭上的3个点截去一个正三棱锥，如此共截去4个正三棱锥，若得到的几何体是一个由正三角形与正六边形围成的等角半正多面体，且正六边形的面积为2，则原正四面体的表面积为．

填空题普通

1. 《瀑布》（图1）是最为人所知的作品之一，图中的瀑布会源源不断地落下，落下的水又逆流而上，荒唐至极，但又会让你百看不腻，画面下方还有一位饶有兴致的观察者，似乎他没发现什么不对劲.此时，他既是画外的观看者，也是埃舍尔自己.画面两座高塔各有一个几何体，左塔上方是著名的“三立方体合体”由三个正方体构成，右塔上的几何体是首次出现，后称“埃舍尔多面体”（图2）

埃舍尔多面体可以用两两垂直且中心重合的三个正方形构造，设边长均为2，定义正方形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的顶点为“框架点”，定义两正方形交线为“极轴”，其端点为“极点”，记为 $\text{[math]}$ ，将极点 $\text{[math]}$ ，分别与正方形 $\text{[math]}$ 的顶点连线，取其中点记为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，如（图3）.埃舍尔多面体可视部分是由12个四棱锥构成，这些四棱锥顶点均为“框架点”，底面四边形由两个“极点”与两个“中点”构成，为了便于理解，图4我们构造了其中两个四棱锥 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$

(1) 求异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 成角余弦值；

(2) 求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 的夹角正弦值；

(3) 求埃舍尔体的表面积与体积（直接写出答案）.

解答题困难

2. 高一年级举办立体几何模型制作大赛，某同学想制作一个顶部是正四棱锥、底部是正四棱柱的模型，并画出了如图所示的直观图.其中正四棱柱. $\text{[math]}$ 的高 $\text{[math]}$ 是正四棱锥. $\text{[math]}$ 的高 $\text{[math]}$ 的4倍.

(1) 若 $\text{[math]}$ ；

(i)求该模型的体积；

(ii)求顶部正四棱锥的侧面积；

(2) 若顶部正四棱锥的侧棱长为 6，当 $\text{[math]}$ 为多少时，底部正四棱柱的侧面积S最大?并求出S的最大值.

解答题困难

3. $\text{[math]}$ 瀑布 $\text{[math]}$ 图 $\text{[math]}$ 是最为人所知的作品之一，图中的瀑布会源源不断地落下，落下的水又逆流而上，荒唐至极，但又会让你百看不腻，画面下方还有一位饶有兴致的观察者，似乎他没发现什么不对劲 $\text{[math]}$ 此时，他既是画外的观看者，也是埃舍尔自己 $\text{[math]}$ 画面两座高塔各有一个几何体，左塔上方是著名的“三立方体合体”由三个正方体构成，右塔上的几何体是首次出现，后称“埃舍尔多面体” $\text{[math]}$ 图 $\text{[math]}$

埃舍尔多面体可以用两两垂直且中心重合的三个正方形构造，设边长均为 $\text{[math]}$ ，定义正方形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的顶点为“框架点”，定义两正方形交线为“极轴”，其端点为“极点”，记为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将极点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，分别与正方形 $\text{[math]}$ 的顶点连线，取其中点记为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，如 $\text{[math]}$ 图 $\text{[math]}$ 埃舍尔多面体可视部分是由 $\text{[math]}$ 个四棱锥构成，这些四棱锥顶点均为“框架点”，底面四边形由两个“极点”与两个“中点”构成，为了便于理解，图 $\text{[math]}$ 我们构造了其中两个四棱锥 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$