现有四个正四棱柱形容器，1号容器的底面边长是a，高是b；2号容器的底面边长是b，高是a；3号容器的底面边长是a，高是a；4号容器的底面边长是b，高是b.假设，问是否存在一种必胜的4选2的方案（与的大小无关），使选中的两个容器的容积之和大于余下的两个容器的容积之和？无论是否存在必胜的方案，都要说明理由.

1. 现有四个正四棱柱形容器，1号容器的底面边长是a，高是b；2号容器的底面边长是b，高是a；3号容器的底面边长是a，高是a；4号容器的底面边长是b，高是b.假设 $\text{[math]}$ ，问是否存在一种必胜的4选2的方案（与 $\text{[math]}$ 的大小无关），使选中的两个容器的容积之和大于余下的两个容器的容积之和？无论是否存在必胜的方案，都要说明理由.

【考点】

棱柱、棱锥、棱台的体积;

【答案】

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解答题普通

1. 已知P是底面为正三角形的直三棱柱 $\text{[math]}$ 的上底面 $\text{[math]}$ 的中心，作平面 $\text{[math]}$ 与棱 $\text{[math]}$ 交于点D．若 $\text{[math]}$ ，则三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为．

解答题普通

2. 如图，正方体 $\text{[math]}$ 的所有棱长都为1，求点A到平面 $\text{[math]}$ 的距离.

解答题普通

3. 在棱长为2的正方体 $\text{[math]}$ 中，（如图） $\text{[math]}$ 是棱 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 是侧面 $\text{[math]}$ 的中心.

(1) 求三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积；

(2) 求异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角；

(3) 求 $\text{[math]}$ 与底面 $\text{[math]}$ 所成的角的大小.（结果用反三角函数表示）

解答题普通