如图，在三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，侧面是菱形，平面平面，，分别是棱，的中点，是棱上一点，且．

1. 如图，在三棱柱 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 是边长为2的正三角形，侧面 $\text{[math]}$ 是菱形，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是棱 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 是棱 $\text{[math]}$ 上一点，且 $\text{[math]}$ ．

(1) 证明： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

(2) 若三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为1，且二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

【考点】

棱柱、棱锥、棱台的体积; 直线与平面平行的判定; 用空间向量研究二面角;

【答案】

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解答题普通

1. 如图，在正方体 $\text{[math]}$ 中，E是 $\text{[math]}$ 的中点.

(1) 求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

(2) 设正方体的棱长为1，求三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积．

解答题普通

2. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面ABCD是边长为2的正方形， $\text{[math]}$ 底面ABCD ， $\text{[math]}$ ，点E在棱PC上， $\text{[math]}$ 平面EBD.

(1) 试确定点E的位置，并说明理由；

(2) 是否存在实数 $\text{[math]}$ ，使三棱锥 $\text{[math]}$ 体积为 $\text{[math]}$ .

解答题普通

3. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为正方形，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是直角三角形，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点．

(1) 证明： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

(2) 求三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积．

解答题普通