将一副直角三角板（分别含、、和、、的角）叠放在量角器上，、分别平分和．【特例感知】（1）如图①，如果点、、在同一直线上，边与量角器的刻度线重合，边与量角器刻度线重合，那么______；【规律探究】（2）如图②，如果两个直角三角板有重叠，①当时，求的度数；②当时，______；（用含的式子表示）【解决问题】（3）如图①，将三角板绕点顺时针旋转，平均每秒旋转，将三角板绕点逆时针旋转，平均每秒旋转．两三角板同时旋转，当第一次与重合时，两三角板同时停止旋转，设旋转时间为秒，在旋转过程中，如果与两角平分线的夹角为，请求出的值．

1. 如图， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数．

解答题容易

如图，点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，请说明 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 的理由．

解： $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上，

∴ $\text{[math]}$ _____°，

∵ $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ ____ $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ ____=____°，

又 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ （________________），

∴ $\text{[math]}$ （____________________）．

证明题容易

3. 如图， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 内的两条射线， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数．

解答题容易

1. 问题提出

（ $\text{[math]}$ ）如图 $\text{[math]}$ 所示，将含有 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 角的一副直角三角板 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的顶点和 $\text{[math]}$ 角的顶点重合于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 平分线，则 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．

问题探究

（ $\text{[math]}$ ）如图 $\text{[math]}$ ，若将三角板 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，请你探究 $\text{[math]}$ 度数是否会发生变化？若不变，求出其角度；若变化，请说明理由；

问题解决

（ $\text{[math]}$ ）如图 $\text{[math]}$ ，从图 $\text{[math]}$ 位置开始，将三角板 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 以每秒 $\text{[math]}$ 速度逆时针旋转，同时三角板 $\text{[math]}$ 以每秒 $\text{[math]}$ 的速度顺时针旋转，当 $\text{[math]}$ 首次与 $\text{[math]}$ 重合或当 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 首次重合时，两个三角板都停止旋转．设两三角板的旋转时间为 $\text{[math]}$ ，在整个旋转过程中，当满足 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

解答题困难

2. 如图， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的度数都是 $\text{[math]}$ ．

(1) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数；

(2) 若射线OC ， OD恰好分别是 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的平分线，求 $\text{[math]}$ 的度数；

(3) 当射线OK在 $\text{[math]}$ 内部， $\text{[math]}$ 时，我们称k为射线OK在 $\text{[math]}$ 内的比值，记作 $\text{[math]}$ ．

在（2）的条件下，射线OP ， OQ分别从射线OA和OB同时开始旋转，其中射线OP绕点O顺时针旋转，射线OQ绕点O逆时针旋转，当射线OP旋转到射线OB时，射线OP ， OQ停止旋转．设运动时间为t秒．若射线OP ， OQ的运动速度分别为每秒 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，射线OQ到达射线OA后立即以原速返回，则当t为何值时， $\text{[math]}$ ？

解答题困难

3. 如图1， $\text{[math]}$ 为直线 $\text{[math]}$ 上一点，将一 $\text{[math]}$ 直角三角板的直角顶点放在点 $\text{[math]}$ 处，较长边 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重合，另一边 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 的下方．

(1) 将图1中的三角板绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转，如图2，使 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的内部，且恰好平分 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数；

(2) 将图1中的三角板绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转，如图3，使 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的内部，求 $\text{[math]}$ 的值．

解答题普通

1. 如图，点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上，过 $\text{[math]}$ 作射线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，一直角三角板的直角顶点与点 $\text{[math]}$ 重合，边 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重合，边 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 的下方 $\text{[math]}$ 若三角板绕点 $\text{[math]}$ 按每秒 $\text{[math]}$ 的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第 $\text{[math]}$ 秒时，直线 $\text{[math]}$ 恰好平分锐角 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$

单选题困难

2. 如图，长方形纸片 $\text{[math]}$ ，点E在边 $\text{[math]}$ 上，点F，G在边 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．将 $\text{[math]}$ 对折，点B落在直线 $\text{[math]}$ 上的点 $\text{[math]}$ 处，得折痕 $\text{[math]}$ ；将 $\text{[math]}$ 对折，点A落在直线 $\text{[math]}$ 上的点 $\text{[math]}$ 处，得折痕 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

填空题困难

3. 如图，平面内 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，则以下结论：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ．其中正确结论的个数有（）

A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个

单选题容易

1. 一副三角尺（分别含 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ）按如图1所示摆放在量角器上，边 $\text{[math]}$ 与量角器 $\text{[math]}$ 刻度线重合，边 $\text{[math]}$ 与量角器 $\text{[math]}$ 刻度线重合（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），将三角尺 $\text{[math]}$ 绕量角器中心点 $\text{[math]}$ 以每秒 $\text{[math]}$ 的速度顺时针旋转，当边 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 刻度线重合时停止运动，设三角尺 $\text{[math]}$ 的运动时间为 $\text{[math]}$ （秒）．

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，边 $\text{[math]}$ 经过的量角器刻度线对应的度数是________度；

(2) 如图2，若在三角尺 $\text{[math]}$ 开始旋转的同时，三角尺 $\text{[math]}$ 也绕点 $\text{[math]}$ 以每秒 $\text{[math]}$ 的速度逆时针旋转，当三角尺 $\text{[math]}$ 停止旋转时，三角尺 $\text{[math]}$ 也停止旋转． $\text{[math]}$ ．

①用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示： $\text{[math]}$ （________）°； $\text{[math]}$ （________）°；

②当 $\text{[math]}$ 为何值时，边 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ；

③直接写出当 $\text{[math]}$ 为何值时， $\text{[math]}$

解答题困难

2. 已知，如图， $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在射线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ．