如图1，为直线上一点，将一直角三角板的直角顶点放在点处，较长边与重合，另一边在直线的下方．

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1. 如图1， $\text{[math]}$ 为直线 $\text{[math]}$ 上一点，将一 $\text{[math]}$ 直角三角板的直角顶点放在点 $\text{[math]}$ 处，较长边 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重合，另一边 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 的下方．

(1) 将图1中的三角板绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转，如图2，使 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的内部，且恰好平分 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数；

(2) 将图1中的三角板绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转，如图3，使 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的内部，求 $\text{[math]}$ 的值．

【考点】

角的运算; 角平分线的性质; 旋转的性质;

【答案】

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解答题普通

1. 将一副直角三角板（分别含 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的角）叠放在量角器上， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别平分 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ．

【特例感知】

（1）如图①，如果点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 在同一直线上，边 $\text{[math]}$ 与量角器的 $\text{[math]}$ 刻度线重合，边 $\text{[math]}$ 与量角器 $\text{[math]}$ 刻度线重合，那么 $\text{[math]}$ ______；

【规律探究】

（2）如图②，如果两个直角三角板有重叠，

①当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的度数；

②当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ______；（用含 $\text{[math]}$ 的式子表示）

【解决问题】

（3）如图①，将三角板 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转，平均每秒旋转 $\text{[math]}$ ，将三角板 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转，平均每秒旋转 $\text{[math]}$ ．两三角板同时旋转，当 $\text{[math]}$ 第一次与 $\text{[math]}$ 重合时，两三角板同时停止旋转，设旋转时间为 $\text{[math]}$ 秒，在旋转过程中，如果 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 两角平分线的夹角为 $\text{[math]}$ ，请求出 $\text{[math]}$ 的值．

解答题困难

2. 问题提出

（ $\text{[math]}$ ）如图 $\text{[math]}$ 所示，将含有 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 角的一副直角三角板 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的顶点和 $\text{[math]}$ 角的顶点重合于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 平分线，则 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．

问题探究

（ $\text{[math]}$ ）如图 $\text{[math]}$ ，若将三角板 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，请你探究 $\text{[math]}$ 度数是否会发生变化？若不变，求出其角度；若变化，请说明理由；

问题解决

（ $\text{[math]}$ ）如图 $\text{[math]}$ ，从图 $\text{[math]}$ 位置开始，将三角板 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 以每秒 $\text{[math]}$ 速度逆时针旋转，同时三角板 $\text{[math]}$ 以每秒 $\text{[math]}$ 的速度顺时针旋转，当 $\text{[math]}$ 首次与 $\text{[math]}$ 重合或当 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 首次重合时，两个三角板都停止旋转．设两三角板的旋转时间为 $\text{[math]}$ ，在整个旋转过程中，当满足 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

解答题困难

3. 如图， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的度数都是 $\text{[math]}$ ．

(1) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数；

(2) 若射线OC ， OD恰好分别是 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的平分线，求 $\text{[math]}$ 的度数；

(3) 当射线OK在 $\text{[math]}$ 内部， $\text{[math]}$ 时，我们称k为射线OK在 $\text{[math]}$ 内的比值，记作 $\text{[math]}$ ．

在（2）的条件下，射线OP ， OQ分别从射线OA和OB同时开始旋转，其中射线OP绕点O顺时针旋转，射线OQ绕点O逆时针旋转，当射线OP旋转到射线OB时，射线OP ， OQ停止旋转．设运动时间为t秒．若射线OP ， OQ的运动速度分别为每秒 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，射线OQ到达射线OA后立即以原速返回，则当t为何值时， $\text{[math]}$ ？

解答题困难