小明发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形．已知：在中，．求作：线段，使得线段将分割成两个等腰三角形．下面是小明设计的尺规作图的作法：①作直角边的垂直平分线，与斜边相交于点D；②连接．则线段为所求．完成下面的证明．证明：∵直线是线段的垂直平分线，点D在直线上，∴ ．（）（填推理的依据）∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ ． ∴ ． ∴ ．（）（填推理的依据）∴和都是等腰三角形．

1. 小明发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形．

已知：在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ．

求作：线段 $\text{[math]}$ ，使得线段 $\text{[math]}$ 将 $\text{[math]}$ 分割成两个等腰三角形．

下面是小明设计的尺规作图的作法：

①作直角边 $\text{[math]}$ 的垂直平分线 $\text{[math]}$ ，与斜边 $\text{[math]}$ 相交于点D；

②连接 $\text{[math]}$ ．

则线段 $\text{[math]}$ 为所求．

完成下面的证明．

证明：∵直线 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 的垂直平分线，点D在直线 $\text{[math]}$ 上，

∴ $\text{[math]}$ ．（）（填推理的依据）

∴ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．

∵ $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ ．

∵ $\text{[math]}$ ．

∴ $\text{[math]}$ ．

∴ $\text{[math]}$ ．（）（填推理的依据）

∴ $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都是等腰三角形．

【考点】

线段垂直平分线的性质; 等腰三角形的判定与性质;

【答案】

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证明题普通

1. 如图， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的垂直平分线交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ．

（1）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数；

（2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的周长17，求 $\text{[math]}$ 的周长．

解答题容易

2. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 的垂直平分线分别交 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的周长为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的周长等于 $\text{[math]}$ ．

填空题容易

3. 如图，在 $\text{[math]}$ 中，直线 $\text{[math]}$ 垂直平分 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的周长为．

填空题容易