如图，已知△ABC和△CDE均为等边三角形，且点B、C、D在同一条直线上，连接AD、BE，交CE和AC分别于G、H点，连接GH．（1）求证：AD＝BE；（2）试猜想：△CGH是什么三角形，并加以证明．

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1. 如图，已知△ABC和△CDE均为等边三角形，且点B、C、D在同一条直线上，连接AD、BE，交CE和AC分别于G、H点，连接GH．

（1）求证：AD＝BE；

（2）试猜想：△CGH是什么三角形，并加以证明．

【考点】

等边三角形的判定与性质; 三角形全等的判定-SAS; 三角形全等的判定-ASA;

【答案】

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证明题普通

基础巩固

能力提升

变式训练

拓展培优

换一批

1. 如图，E是等边三角形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数．

解答题容易

2. 如图， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数．

解答题容易

3. 在我国北斗卫星导航系统的精确导航下，一艘货轮在海上以每小时40海里的速度行半小时后货轮到达C处，此时测得灯塔A在其北偏东 $\text{[math]}$ 的方向上，求货轮到达C处时与灯塔A的距离．

综合题容易

1. 已知：如图，在等边三角形ABC中，D为AC的中点，DG∥BC，交AB于点G，E为BC延长线上一点，且∠EDF=120°，DF交AB于点F.

(1) 求证：△CDE≌△GDF.

(2) 求证： $\text{[math]}$

证明题普通

2. 如图，点C在线段 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数．

证明题普通

3. 阅读材料：

已知：如图1， $\text{[math]}$ 是直角三角形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$

证明：如图2，延长 $\text{[math]}$ 至点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$

在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ （全等三角形的对应边相等）．

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 是等边三角形（有一个角等于 $\text{[math]}$ 的等腰三角形是等边三角形）．

【知识运用】（1）如图1，在Rt $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，

若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ______；

【类比证明】（2）如图3，请类比以上证明过程，证明：在 $\text{[math]}$ 中，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；

【迁移创新】请你尝试解决以下问题．

（3）如图4，等边 $\text{[math]}$ 中，延长 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ ．

证明题困难

1. 将两个等边 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 按如图方式放置在等边三角形 $\text{[math]}$ 内．若求四边形 $\text{[math]}$ 和三角形 $\text{[math]}$ 的周长差，则只需知道（）

A. 线段 $\text{[math]}$ 的长 B. 线段 $\text{[math]}$ 的长 C. 线段 $\text{[math]}$ 的长 D. 线段 $\text{[math]}$ 的长

单选题普通

2. 如图，C为线段 $\text{[math]}$ 上一动点（不与A，E重合），在 $\text{[math]}$ 同侧分别作等边 $\text{[math]}$ 和等边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点O， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点P， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点Q，连接 $\text{[math]}$ ，则有以下五个结论：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ；⑤ $\text{[math]}$ ．其中正确的有（　　）

A. ①③⑤ B. ①③④⑤ C. ①②③⑤ D. ①②③④⑤

单选题普通

3. 如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，下列结论错误的是（）

A. AD＝BE B. ∠DOE＝60° C. DE＝DP D. PQ∥AE

单选题困难

1. 如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交与点O、AD与BC交于点P、BE与CD交于点Q.

求证：

(1) AD=BE；

(2) △CPQ是等边三角形

证明题普通

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，分别延长BA，BC至点D，E，连接AE，CD交于点 $\text{[math]}$ .请你只添加一个条件，使得 $\text{[math]}$ .

以下是小果和小芳的证明思路：

小果：根据“ASA”证明；

小芳：根据“SAS”证明.

(1) 我选择 (填“小果”或“小芳”)的证明思路，添加的条件是，请写出证明过程；

(2) 在(1)的条件下，若 $\text{[math]}$ 是BE的中点，求 $\text{[math]}$ 的度数.

实践探究题普通

3. 【方法探究】如下图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，探究 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系；

嘉铭同学通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题：

方法1：如下图，在 $\text{[math]}$ 上截取 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，可以得到全等三角形，进而解决此问题 $\text{[math]}$

方法2：如下图，延长 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，可以得到等腰三角形，进而解决此问题 $\text{[math]}$

(1) 根据探究，直接写出 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系；

(2) 【迁移应用】

如下图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，探究 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并证明．

(3) 【拓展延伸】

如下图， $\text{[math]}$ 为等边三角形，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 延长线上一动点，连接 $\text{[math]}$ ．以 $\text{[math]}$ 为边在 $\text{[math]}$ 上方作等边 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ 并延长，交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；

实践探究题困难