阅读材料：已知：如图1，是直角三角形，，．求证：证明：如图2，延长至点，使，连接．，．，．在和中．（全等三角形的对应边相等）．是等边三角形（有一个角等于的等腰三角形是等边三角形）．【知识运用】（1）如图1，在Rt中，，若，，则______；【类比证明】（2）如图3，请类比以上证明过程，证明：在中，若，，求证：；【迁移创新】请你尝试解决以下问题．（3）如图4，等边中，延长，，使，连接，．求证：．

1. 如图，E是等边三角形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数．

解答题容易

2. 如图， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数．

解答题容易

3. 在我国北斗卫星导航系统的精确导航下，一艘货轮在海上以每小时40海里的速度行半小时后货轮到达C处，此时测得灯塔A在其北偏东 $\text{[math]}$ 的方向上，求货轮到达C处时与灯塔A的距离．

综合题容易

1. 如图，点C在线段 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数．

证明题普通

2. 如图所示，已知 $\text{[math]}$ 为等边三角形，点D为 $\text{[math]}$ 延长线上的一点， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 求证 $\text{[math]}$ ；

(2) 判断 $\text{[math]}$ 的形状，并加以证明．

证明题普通

3. 如图，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D，E，F，使得AD=BE=CF求证：△DEF为等边三角形，．

证明题困难

1. 如图，点C在AB上，△DAC，△EBC均是等边三角形，AE，BD分别与CD，CE交于点M，N，则下列结论：①AE=BD；②CM=CN；③△CMN为等边三角形；④MN//BC.其中，正确的有（）

A. ①② B. ②③④ C. ①②③④ D. ②④

单选题普通

2. 将两个等边 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 按如图方式放置在等边三角形 $\text{[math]}$ 内．若求四边形 $\text{[math]}$ 和三角形 $\text{[math]}$ 的周长差，则只需知道（）

A. 线段 $\text{[math]}$ 的长 B. 线段 $\text{[math]}$ 的长 C. 线段 $\text{[math]}$ 的长 D. 线段 $\text{[math]}$ 的长

单选题普通

3. 如图，C为线段 $\text{[math]}$ 上一动点（不与A，E重合），在 $\text{[math]}$ 同侧分别作等边 $\text{[math]}$ 和等边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点O， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点P， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点Q，连接 $\text{[math]}$ ，则有以下五个结论：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ；⑤ $\text{[math]}$ ．其中正确的有（　　）

A. ①③⑤ B. ①③④⑤ C. ①②③⑤ D. ①②③④⑤

单选题普通

1. 已知： $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ 并延长至点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ .

图1 图2 图3

(1) 如图 1，当 $\text{[math]}$ 时，求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 如图 2，当 $\text{[math]}$ 时，（1）中结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请直接写出结论：；

(3) 如图 3，在（2）的条件下，在 $\text{[math]}$ 上截取 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ ，

且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.

综合题困难

2. 【问题提出】如图1， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 都是等边三角形，求证： $\text{[math]}$ ．

【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即 $\text{[math]}$ ．如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题．

【方法应用】

(1) 等边三角形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上一定点， $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 上一动点，以 $\text{[math]}$ 为一边作等边：等边三角形 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

①如图2，若点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上，线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之间的关系为__________（直接写出结论）．

②如图3，若点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 的延长线上，试证明线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之间的关系．

(2) 如图4，等腰 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为边作等边 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，写出 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并加以说明．

(3) 如图5，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上的一个动点，连接 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为边在 $\text{[math]}$ 的下方作等边三角形 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 是否有最小值，如有，求出它的最小值，没有，请说明理由．

解答题困难

3. 综合探究

在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，点E在 $\text{[math]}$ 的内部，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ．