已知单位向量两两的夹角均为（，且），若空间向量满足，，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系（O为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作，有下列命题：①已知，，则；②已知，，其中，则当且仅当时，向量的夹角取得最小值；③已知，，则；④已知，，，则三棱锥的表面积.其中真命题为（写出所有真命题的序号）．

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1. 已知单位向量 $\text{[math]}$ 两两的夹角均为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ），若空间向量 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则有序实数组 $\text{[math]}$ 称为向量 $\text{[math]}$ 在“仿射”坐标系 $\text{[math]}$ （O为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作 $\text{[math]}$ ，有下列命题：

①已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；

②已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，则当且仅当 $\text{[math]}$ 时，向量 $\text{[math]}$ 的夹角取得最小值；

③已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；

④已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则三棱锥 $\text{[math]}$ 的表面积 $\text{[math]}$ .

其中真命题为（写出所有真命题的序号）．

【考点】

棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用;

【答案】

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填空题困难

基础巩固

能力提升

变式训练

拓展培优

真题演练

换一批

1. 如图，某几何体由共底面的圆锥和圆柱组合而成，且圆柱的两个底面圆周和圆锥的顶点均在体积为 $\text{[math]}$ 的球面上，若圆柱的高为2，则圆锥的侧面积为．

填空题容易

2. 已知圆锥的侧面积为 $\text{[math]}$ ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径是.

填空题容易

3. 已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆柱的表面积为.

填空题容易

1. 六氟化硫，化学式为 $\text{[math]}$ ，在常压下是一种无色､无臭､无毒､不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如图所示.若此正八面体的内切球的半径为 $\text{[math]}$ ，则该正八面体的表面积为.

填空题普通

2. 在正三棱锥 $\text{[math]}$ 中，O为底面 $\text{[math]}$ 的中心， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在棱PA，PB，PC上，且 $\text{[math]}$ ，圆柱 $\text{[math]}$ 的上底面是 $\text{[math]}$ 的内切圆，下底面在平面ABC内，则圆柱 $\text{[math]}$ 的侧面积为．

填空题普通

3. 有两个相同的直三棱柱，高为 $\text{[math]}$ ，底面三角形的三边长分别为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情况中，全面积最小的是一个四棱柱，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是．

填空题普通

1. 已知某个正四棱台的上、下底面边长和高的比为 $\text{[math]}$ ，若侧棱长为 $\text{[math]}$ ，则该棱台的侧面积为（）

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题容易

2. 攒（cuán）尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁或园林式建筑．下图是一顶圆形攒尖，其屋顶可近似看作一个圆锥，其轴截面（过圆锥轴的截面）是底边长为 $\text{[math]}$ ，顶角为 $\text{[math]}$ 的等腰三角形，则该屋顶的面积约为（）

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题容易

3. 如图，圆锥 $\text{[math]}$ 的底面直径和高均是4，过 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ 作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的表面积为（）

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题普通

1. 高一年级举办立体几何模型制作大赛，某同学想制作一个顶部是正四棱锥、底部是正四棱柱的模型，并画出了如图所示的直观图.其中正四棱柱. $\text{[math]}$ 的高 $\text{[math]}$ 是正四棱锥. $\text{[math]}$ 的高 $\text{[math]}$ 的4倍.

(1) 若 $\text{[math]}$ ；

(i)求该模型的体积；

(ii)求顶部正四棱锥的侧面积；

(2) 若顶部正四棱锥的侧棱长为 6，当 $\text{[math]}$ 为多少时，底部正四棱柱的侧面积S最大?并求出S的最大值.

解答题困难

2. $\text{[math]}$ 瀑布 $\text{[math]}$ 图 $\text{[math]}$ 是最为人所知的作品之一，图中的瀑布会源源不断地落下，落下的水又逆流而上，荒唐至极，但又会让你百看不腻，画面下方还有一位饶有兴致的观察者，似乎他没发现什么不对劲 $\text{[math]}$ 此时，他既是画外的观看者，也是埃舍尔自己 $\text{[math]}$ 画面两座高塔各有一个几何体，左塔上方是著名的“三立方体合体”由三个正方体构成，右塔上的几何体是首次出现，后称“埃舍尔多面体” $\text{[math]}$ 图 $\text{[math]}$

埃舍尔多面体可以用两两垂直且中心重合的三个正方形构造，设边长均为 $\text{[math]}$ ，定义正方形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的顶点为“框架点”，定义两正方形交线为“极轴”，其端点为“极点”，记为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将极点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，分别与正方形 $\text{[math]}$ 的顶点连线，取其中点记为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，如 $\text{[math]}$ 图 $\text{[math]}$ 埃舍尔多面体可视部分是由 $\text{[math]}$ 个四棱锥构成，这些四棱锥顶点均为“框架点”，底面四边形由两个“极点”与两个“中点”构成，为了便于理解，图 $\text{[math]}$ 我们构造了其中两个四棱锥 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$