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1. 已知球的半径为
, 则球的表面积为( )
A.
B.
C.
D.
【考点】
球的表面积与体积公式及应用;
【答案】
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单选题
容易
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1. 若一个球体的体积与其表面积的值相等,则该球体的半径为( )
A.
1
B.
2
C.
3
D.
单选题
容易
2. 已知球的体积为
, 则该球的表面积为( )
A.
B.
C.
D.
单选题
容易
3. 一个球的表面积为
, 则该球的半径为( )
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
单选题
容易
1. 已知三棱锥
的顶点都在球
的球面上,底面
是边长为3的等边三角形.若三棱锥
的体积的最大值为
, 则球
的表面积为( )
A.
B.
C.
D.
单选题
普通
2. 在南方不少地区,经常看到一种用木片、竹篾或苇蒿等材料制作的斗笠,用来遮阳或避雨,有一种外形为圆锥形的斗笠,称为“灯罩斗笠”,不同型号的斗笠大小经常用帽坡长(母线长)和帽底宽(底面圆直径长)两个指标进行衡量,现有一个“灯罩斗笠”,帽坡长20厘米,帽底宽
厘米,关于此斗笠,下列说法不正确的是( )
A.
斗笠轴截面(过顶点和底面中心的截面图形)的顶角为120°
B.
过斗笠顶点和斗笠侧面上任意两母线的截面三角形的最大面积为
平方厘米
C.
若此斗笠顶点和底面圆上所有点都在同一个球上,则该球的表面积为
平方厘米
D.
此斗笠放在平面上,可以完全盖住的球(保持斗笠不变形)的最大半径为
厘米
单选题
普通
3. 正多面体也称柏拉图立体,被誉为最有规律的立体结构,其所有面都只由一种正多边形构成的多面体(各面都是全等的正多边形,且每一个顶点所接的面数都一样,各相邻面所成二面角都相等).数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体,即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体,如图所示为一个棱长为1的正八面体,则其内切球的表面积为( )
A.
B.
C.
D.
单选题
困难
1. 已知三棱锥
的顶点都在球
的球面上,
,
,
,
, 则球
的表面积为
.
填空题
普通
2. 表面积为
的球的体积为
.
填空题
容易
3. 如图,在边长为4的正方体
中,
分别是棱
的中点,
是正方形
内的动点,则下列结论正确的是( )
A.
若
平面
, 则点
的轨迹长度为
B.
若
, 则点
的轨迹长度为
C.
二面角
的正切值为
D.
若
是棱
的中点,则三棱锥
的外接球的表面积是
多选题
困难
1. 如图,半球内有一内接正四棱锥
, 该四棱锥的体积为
.
(1)
求该半球的体积;
(2)
若从半球中把正四棱锥
挖去,求所得几何体的表面积.
解答题
普通
2. 在空间立体几何中,球面往往是重要的研究对象,同时,它与平面几何中的圆息息相关.而对于几何体的研究中,几何重心的选取显得尤为重要.古希腊著名数学家巴普斯(Pappus)在研究过程中发现了一个性质:平面内任一面积为
的区域沿着垂直于该区域的平面运动得到体积为
的立体,若记
为此区域的几何重心运动的轨迹长度,则有
.
(1)
已知半圆面的几何重心在其对称轴上,求半径为3的半圆面的几何重心到圆心的距离(试着考虑绕直径旋转一周得到球体);
(2)
建立空间直角坐标系
, 取球心为
, 且半径为1的球体,点
为其表面上一点.若
、
,
, 球体在点
处的切面截坐标系的三轴组成平面三角形
, 求
面积的最小值.
提示:①球面方程:
, 其中点
为球心坐标,
为球的半径;
②平面方程的点法式:
, 其中平面过点
, 其法向量
.
解答题
困难
3. 解决问题
(1)
如图1,正四棱锥
,
.
(ⅰ)求此四棱锥的外接球的体积;
(ⅱ)
为
上一点,求
的最小值;
(2)
将边长为4a的正方形铁皮用剪刀剪切后,焊接成一个正四棱锥(含底面),并保持正四棱锥的表面与正方形的面积相等,在图2中用虚线画出剪刀剪切的轨迹,并求焊接后的正四棱锥的体积.
解答题
困难
1. 正三棱台高为1,上下底边长分别为
和
,所有顶点在同一球面上,则球的表面积是( )
A.
100π
B.
128π
C.
144π
D.
192π
单选题
普通
2. 北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在卫星导航系统中,地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面,轨道高度为
(轨道高度是指卫星到地球表面的距离).将地球看作是一个球心为O,半径r为
的球,其上点A的纬度是指
与赤道平面所成角的度数.地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为
,记卫星信号覆盖地球表面的表面积为
(单位:
),则S占地球表面积的百分比约为( )
A.
26%
B.
34%
C.
42%
D.
50%
单选题
容易
3. 已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为
.
填空题
普通