如图，半球内有一内接正四棱锥，该四棱锥的体积为.

1. 如图，半球内有一内接正四棱锥 $\text{[math]}$ ，该四棱锥的体积为 $\text{[math]}$ .

(1) 求该半球的体积；

(2) 若从半球中把正四棱锥 $\text{[math]}$ 挖去，求所得几何体的表面积.

【考点】

棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用; 球的表面积与体积公式及应用; 锥体的体积公式及应用;

【答案】

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解答题普通

1. 正四棱锥 $\text{[math]}$ 的高和底面边长均为4， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 点

(1) 求该棱锥的表面积；

(2) 若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点，求二面角 $\text{[math]}$ 的大小．

解答题普通

2. 四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 为等腰梯形， $\text{[math]}$ ，侧面 $\text{[math]}$ 为正三角形；

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，线段 $\text{[math]}$ 上是否存在一点 $\text{[math]}$ ，使得直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值为 $\text{[math]}$ ？若存在，求出 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，请说明理由．

(2) 当 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角最大时，求三棱锥 $\text{[math]}$ 的外接球的体积．

解答题困难

3. 如图，三棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 是边长为2的等边三角形， $\text{[math]}$ .

(1) 若 $\text{[math]}$ ，求三棱锥 $\text{[math]}$ 的外接球的表面积；

(2) 若异面直线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ （不含端点）上的一个动点，平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.

解答题困难