在空间立体几何中，球面往往是重要的研究对象，同时，它与平面几何中的圆息息相关.而对于几何体的研究中，几何重心的选取显得尤为重要.古希腊著名数学家巴普斯（Pappus）在研究过程中发现了一个性质：平面内任一面积为的区域沿着垂直于该区域的平面运动得到体积为的立体，若记为此区域的几何重心运动的轨迹长度，则有.

1. 在空间立体几何中，球面往往是重要的研究对象，同时，它与平面几何中的圆息息相关.而对于几何体的研究中，几何重心的选取显得尤为重要.古希腊著名数学家巴普斯（Pappus）在研究过程中发现了一个性质：平面内任一面积为 $\text{[math]}$ 的区域沿着垂直于该区域的平面运动得到体积为 $\text{[math]}$ 的立体，若记 $\text{[math]}$ 为此区域的几何重心运动的轨迹长度，则有 $\text{[math]}$ .

(1) 已知半圆面的几何重心在其对称轴上，求半径为3的半圆面的几何重心到圆心的距离（试着考虑绕直径旋转一周得到球体）；

(2) 建立空间直角坐标系 $\text{[math]}$ ，取球心为 $\text{[math]}$ ，且半径为1的球体，点 $\text{[math]}$ 为其表面上一点.若 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，球体在点 $\text{[math]}$ 处的切面截坐标系的三轴组成平面三角形 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 面积的最小值.

提示：①球面方程： $\text{[math]}$ ，其中点 $\text{[math]}$ 为球心坐标， $\text{[math]}$ 为球的半径；

②平面方程的点法式： $\text{[math]}$ ，其中平面过点 $\text{[math]}$ ，其法向量 $\text{[math]}$ .

【考点】

球的表面积与体积公式及应用; 锥体的体积公式及应用;

【答案】

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解答题困难

1. 已知三棱锥 $\text{[math]}$ 的三条侧棱 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两两互相垂直，长度分别为2，2，4．

(1) 求该三棱锥的体积；

(2) 求点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离．

解答题普通

2. 如图，四棱锥 $\text{[math]}$ 是由直角 $\text{[math]}$ 沿其中位线DE翻折而成，且 $\text{[math]}$ ，点P在线段 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ．

(1) 若 $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值；

(2) 若二面角 $\text{[math]}$ 的大小为 $\text{[math]}$ ，求三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积．

解答题困难

3. 已知 $\text{[math]}$ 为坐标原点，圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ），如图，直线 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴的上方）， $\text{[math]}$ 两点，圆 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 两点（ $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的左侧），将平面 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 轴折叠，使 $\text{[math]}$ 轴正半轴和 $\text{[math]}$ 轴所确定的半平面（平面 $\text{[math]}$ ）与 $\text{[math]}$ 轴负半轴和 $\text{[math]}$ 轴所确定的半平面（平面 $\text{[math]}$ ）互相垂直，再以 $\text{[math]}$ 为坐标原点，折叠后原 $\text{[math]}$ 轴负半轴，原 $\text{[math]}$ 轴正半轴，原 $\text{[math]}$ 轴正半轴所在直线分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 轴建立如图所示的空间直角坐标系．

(1) 若 $\text{[math]}$ ．

（ⅰ）求三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积；

（ⅱ）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值．

(2) 是否存在 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 折叠后的长度与折叠前的长度之比为 $\text{[math]}$ ？若存在，求 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，请说明理由．

解答题困难