已知三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，长度分别为2，2，4．

1. 已知三棱锥 $\text{[math]}$ 的三条侧棱 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两两互相垂直，长度分别为2，2，4．

(1) 求该三棱锥的体积；

(2) 求点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离．

【考点】

锥体的体积公式及应用;

【答案】

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解答题普通

1. 如图，四棱锥 $\text{[math]}$ 是由直角 $\text{[math]}$ 沿其中位线DE翻折而成，且 $\text{[math]}$ ，点P在线段 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ．

(1) 若 $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值；

(2) 若二面角 $\text{[math]}$ 的大小为 $\text{[math]}$ ，求三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积．

解答题困难

2. 已知 $\text{[math]}$ 为坐标原点，圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ），如图，直线 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴的上方）， $\text{[math]}$ 两点，圆 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 两点（ $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的左侧），将平面 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 轴折叠，使 $\text{[math]}$ 轴正半轴和 $\text{[math]}$ 轴所确定的半平面（平面 $\text{[math]}$ ）与 $\text{[math]}$ 轴负半轴和 $\text{[math]}$ 轴所确定的半平面（平面 $\text{[math]}$ ）互相垂直，再以 $\text{[math]}$ 为坐标原点，折叠后原 $\text{[math]}$ 轴负半轴，原 $\text{[math]}$ 轴正半轴，原 $\text{[math]}$ 轴正半轴所在直线分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 轴建立如图所示的空间直角坐标系．

(1) 若 $\text{[math]}$ ．

（ⅰ）求三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积；

（ⅱ）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值．

(2) 是否存在 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 折叠后的长度与折叠前的长度之比为 $\text{[math]}$ ？若存在，求 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，请说明理由．

解答题困难

3. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面ABCD满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 底面ABCD，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）求四棱锥 $\text{[math]}$ 的体积；

（2）求平面SCD与平面SAB的夹角的余弦值.

解答题普通