在空间直角坐标系中，已知向量，点.若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程表示为.

1. 在空间直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知向量 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ .若直线 $\text{[math]}$ 以 $\text{[math]}$ 为方向向量且经过点 $\text{[math]}$ ，则直线 $\text{[math]}$ 的标准式方程可表示为 $\text{[math]}$ ；若平面 $\text{[math]}$ 以 $\text{[math]}$ 为法向量且经过点 $\text{[math]}$ ，则平面 $\text{[math]}$ 的点法式方程表示为 $\text{[math]}$ .

(1) 已知直线 $\text{[math]}$ 的标准式方程为 $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 的点法式方程可表示为 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值；

(2) 已知平面 $\text{[math]}$ 的点法式方程可表示为 $\text{[math]}$ ，平面外一点 $\text{[math]}$ ，求点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离；

(3) （i）若集合 $\text{[math]}$ ，记集合 $\text{[math]}$ 中所有点构成的几何体为 $\text{[math]}$ ，求几何体 $\text{[math]}$ 的体积：

（ii）若集合 $\text{[math]}$ .记集合 $\text{[math]}$ 中所有点构成的几何体为 $\text{[math]}$ ，求几何体 $\text{[math]}$ 相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小

【考点】

锥体的体积公式及应用;

【答案】

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解答题困难

1. 已知三棱锥 $\text{[math]}$ 的三条侧棱 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两两互相垂直，长度分别为2，2，4．

(1) 求该三棱锥的体积；

(2) 求点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离．

解答题普通

2. 如图，四棱锥 $\text{[math]}$ 是由直角 $\text{[math]}$ 沿其中位线DE翻折而成，且 $\text{[math]}$ ，点P在线段 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ．

(1) 若 $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值；

(2) 若二面角 $\text{[math]}$ 的大小为 $\text{[math]}$ ，求三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积．

解答题困难

3. 已知圆锥的顶点为 $\text{[math]}$ ，底面圆心为 $\text{[math]}$ ，半径为2．

(1) 若圆锥的侧面积为 $\text{[math]}$ ，求圆锥的体积；

(2) 设 $\text{[math]}$ 是底面半径，且 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 的中点，如图．求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角的大小．

解答题普通