解决问题

1. 解决问题

(1) 如图1，正四棱锥 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
（ⅰ）求此四棱锥的外接球的体积；

（ⅱ） $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点，求 $\text{[math]}$ 的最小值；

(2) 将边长为4a的正方形铁皮用剪刀剪切后，焊接成一个正四棱锥（含底面），并保持正四棱锥的表面与正方形的面积相等，在图2中用虚线画出剪刀剪切的轨迹，并求焊接后的正四棱锥的体积．

【考点】

棱锥的结构特征; 球的表面积与体积公式及应用; 锥体的体积公式及应用;

【答案】

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解答题困难

1. 如图，已知四棱锥 $\text{[math]}$ 的底面是面积为 $\text{[math]}$ 的正方形 $\text{[math]}$ ，侧面是全等的等腰三角形，一条侧棱长为 $\text{[math]}$ .

(1) 计算四棱锥 $\text{[math]}$ 的高；

(2) 计算四棱锥 $\text{[math]}$ 侧面三角形底边上的高.

解答题普通

2. 球面几何学是在球表面上的几何学，也是非欧几何的一个例子.对于半径为R的球 $\text{[math]}$ ，过球面上一点 $\text{[math]}$ 作两条大圆的弧 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，它们构成的图形叫做球面角，记作 $\text{[math]}$ （或 $\text{[math]}$ ），其值为二面角 $\text{[math]}$ 的大小，点 $\text{[math]}$ 称为球面角的顶点，大圆弧 $\text{[math]}$ 称为球面角的边.不在同一大圆上的三点 $\text{[math]}$ ，可以得到经过这三点中任意两点的大圆的劣弧 $\text{[math]}$ ，这三条劣弧组成的图形称为球面 $\text{[math]}$ ，这三条劣弧称为球面 $\text{[math]}$ 的边， $\text{[math]}$ 三点称为球面 $\text{[math]}$ 的顶点；三个球面角 $\text{[math]}$ 称为球面 $\text{[math]}$ 的三个内角.

已知球心为 $\text{[math]}$ 的单位球面上有不同在一个大圆上的三点 $\text{[math]}$ ．

(1) 球面 $\text{[math]}$ 的三条边长相等（称为等边球面三角形），若 $\text{[math]}$ ，求球面 $\text{[math]}$ 的内角和；

(2) 类比二面角，我们称从点 $\text{[math]}$ 出发的三条射线 $\text{[math]}$ 组成的图形为三面角，记为 $\text{[math]}$ .

其中点 $\text{[math]}$ 称为三面角的顶点， $\text{[math]}$ 称为它的棱， $\text{[math]}$ 称为它的面角. 若三面角 $\text{[math]}$ 的三个面角的余弦值分别为 $\text{[math]}$ .

（ⅰ）求球面 $\text{[math]}$ 的三个内角的余弦值；

（ⅱ）求球面 $\text{[math]}$ 的面积.

解答题困难

3. 已知球 $\text{[math]}$ 的半径为5.

(1) 求球 $\text{[math]}$ 的表面积；

(2) 若球 $\text{[math]}$ 有两个半径分别为3和4的平行截面，求这两个截面之间的距离.

解答题普通