现有甲、乙、两三台对自然数运算的计算机，它们各自的功能如下：输入甲→输出；输入乙→当时，输出；当时，输出 450 ；输入丙→当是偶数，则输出；当是奇数，则输出。如果把甲、乙、丙顺次连接为一台计算机，即甲→乙→丙，那么这台计算机能输出的最大的数是多少？（都是整数）

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1. 现有甲、乙、两三台对自然数运算的计算机，它们各自的功能如下：

输入 $\text{[math]}$ 甲→输出 $\text{[math]}$ ；

输入 $\text{[math]}$ 乙→当 $\text{[math]}$ 时，输出 $\text{[math]}$ ；当 $\text{[math]}$ 时，输出 450 ；

输入 $\text{[math]}$ 丙→当 $\text{[math]}$ 是偶数，则输出 $\text{[math]}$ ；当 $\text{[math]}$ 是奇数，则输出 $\text{[math]}$ 。

如果把甲、乙、丙顺次连接为一台计算机，即 $\text{[math]}$ 甲→乙→丙 $\text{[math]}$ ，那么这台计算机能输出的最大的数是多少？（都是整数）

【考点】

定义新运算;

【答案】

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解决问题困难

基础巩固

能力提升

变式训练

拓展培优

真题演练

换一批

1. (定义新运算)假设： $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ 的结果是多少？

解决问题容易

2. $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$

计算题容易

3. 若规定 $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$

填空题容易

1. 将一个三位正整数n各数位上的数字重新排列后(含n本身)得到新三位数 $\text{[math]}$ 在所有重新排列中，当 $\text{[math]}$ 最小时，我们称 $\text{[math]}$ 是n的“调和优选数”，并规定F(n) $\text{[math]}$ 例如215可以重新排列为125，152、215，因为 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 所以125是215的是“调和优选数”， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

(1) $\text{[math]}$

(2) 如果在正整数n的三个数位上的数字中，有一个数是另外两个数的平均数，求证：F(n)是一个完全平方数。

(3) 设三位自然数 $\text{[math]}$ ， x，y为自然数)交换其个位上的数字与百位上的数字得到数t'，若 $\text{[math]}$ ，那么我们称t为“和顺数”.求所有“和顺数”中F(t)的最大值。

解决问题困难

2. 一个正整数，由N个数字组成，若它的第一位数可以被1整除，它的前面两位数可以被2整除，前三位数可以被3整除，……，一直到前N位数能被N整除，则这样的数叫做“精巧数”，如：246的第一位数“2”可以被1整除，前两位数“24”可以被2整除，“246”可以被3整除，则246是一个“精巧数”

(1) 请直接写出最小四位数“精巧数”是；最大的四位“精巧数”是。

(2) 若一个三位“精巧数” $\text{[math]}$ 各位数字之和为一个完全平方数，请求出所有满足条件的三位“精巧数”

解决问题普通

3. 定义公运算，观察下列运算：

$\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ；

$\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ 。

(1) 请你认真思考上述运算，归纳★运算的法则，再写出下列算式的结果。

$\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ；

(2) 计算： $\text{[math]}$ 。

(3) 若 $\text{[math]}$ ，求a的值。

解决问题困难

1. 对于两个数 $\text{[math]}$ ，规定a $\text{[math]}$ ，并且 82 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

填空题普通

2. 用“◎”表示一种新的运算符号，已知： 2◎3=2+3+4：7◎2=7+8；3◎5=3+4+5+6+7， ……按此规律，则403◎5=。

填空题普通

3. 定义一种新运算， $\text{[math]}$ ．如 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

填空题普通

1. 对任意一个三位数n ，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为 $\text{[math]}$ ，例如n＝123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ 。

(1) 计算： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

(2) 若s ， t都是“相异数”，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （x ， y都1—9之间的自然数），规定： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，求k的最大值。

解决问题困难

2. 十进制用0到9十个数字来计数，进位规则是“满十进一”。二进制用0和1 两个数字来计数，进位规则是“满二进一”，它在计算机技术中应用广泛。

(1) 十进制计数，加到10，向前一位进一。二进制计数，加到，向前一位进一。

(2) 下面是十进制数改写成二进制数的过程，请你把表格补充完整。

十进制数	1	2	3	4	5
二进制数	1

(3) 十进制数6改写成二进制数是。

填空题困难

3. 将一个三位正整数n各数位上的数字重新排列后(含n本身)得到新三位数 $\text{[math]}$ 在所有重新排列中，当 $\text{[math]}$ 最小时，我们称 $\text{[math]}$ 是n的“调和优选数”，并规定F(n) $\text{[math]}$ 例如215可以重新排列为125，152、215，因为 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 所以125是215的是“调和优选数”， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

(1) $\text{[math]}$

(2) 如果在正整数n的三个数位上的数字中，有一个数是另外两个数的平均数，求证：F(n)是一个完全平方数。

解决问题困难

1. 对于任意自然数a，b，如果有a*b=ab+a+b，已知x*（3*4）=119，则x=．

填空题容易

2. 一种定义新运算：已知1※3=1×2×3，4※5=4×5×6×7×8，则（6※4）÷（3※4）=

填空题困难

3. 定义“★”的运算规则是a★b＝2×a﹣b，那么6★4＝。

填空题普通