在四边形中，，，，四边形周长为32，求和的长度．

1. 2023年呼和浩特努力创造“宜居，宜业，宜学，宜养，宜游”的“五宜城市”．在大黑河，千亩花海成为网红打卡地．某校八年级数学活动小组周末去打卡大黑河花海，如图，四边形 $\text{[math]}$ 为同学们看到的花海区域，为了计算这片花海的面积，该小组进行了实地测量，他们发现如下结果：

①该四边形区域每个顶点都有一棵小树，他们统计了各顶点之间小树的数量，A、B两点间有9棵，A、D两点间有9棵，B、C两点间有7棵，C、D两点间有5棵（已知该区域的四条边中，每相邻跨河大桥的两棵树之间距离相等，都为2米）；

②跨河大桥与大黑河之间的夹角为 $\text{[math]}$ ．

根据以上信息，请你帮他们计算该区域的面积为多少？

综合题容易

2. 如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE//AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．

（1）求∠F的度数．

（2）若CE＝1，求EF的长．

解答题容易

3. 你是不是很喜欢荡秋千？荡秋千（图1）是中国古代北方少数民族创造的一种运动．有一天，赵彬在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度 $\text{[math]}$ ，将它往前推送 $\text{[math]}$ （水平距离 $\text{[math]}$ ）时，秋千的踏板离地的垂直高度 $\text{[math]}$ ，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索 $\text{[math]}$ 的长度．

综合题容易

1. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，

(1) 求 $\text{[math]}$ ；

(2) 求 $\text{[math]}$ 的长．

证明题普通

2. 已知，在等腰Rt△OAB中，∠OAB=90⁰ ， OA=AB，点A，B在第四象限．

（1）①如图1，若A（1，-3），则OA= ； ②求点B的坐标；

（2）如图2，AD⊥y轴于点D，M为OB的中点，求证： $\text{[math]}$ ．

证明题普通

3. 已知正△ABC内一点D，满足∠ADC=150°．求证：由线段AD，BD，CD为边构成的三角形是直角三角形．

证明题困难

1. 如图，小明用四根长度相同的木条制作能够活动的菱形学具，他先把活动学具做成图1所示的菱形，并测得 $\text{[math]}$ ，对角线 $\text{[math]}$ ，接着把活动学具做成图2所示的正方形，则图2中对角线AC的长为（　　）

A. $\text{[math]}$ cm B. 2cm C. 3cm D. 4cm

单选题容易

2. 如图，点P是等边 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 的中点，点M是 $\text{[math]}$ 内一点，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为边在右侧作等边 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 的长是时， $\text{[math]}$ 最短．

填空题普通

3. 小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝60°，对角线AC＝20cm ，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线AC的长为（）

A. 20cm B. 30cm C. 40cm D. 20 $\text{[math]}$ cm

单选题普通

1. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图1，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 如图2，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 延长线于点 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为斜边在 $\text{[math]}$ 的右侧作等腰直角三角形 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．猜想线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的数量关系，并证明你的猜想；

(3) 如图3， $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ 的角平分线交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，取 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．点 $\text{[math]}$ 为直线 $\text{[math]}$ 上的动点，连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿着 $\text{[math]}$ 所在直线翻折至 $\text{[math]}$ 所在平面得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，取 $\text{[math]}$ 中点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．将 $\text{[math]}$ 绕着点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转至直线 $\text{[math]}$ 上方 $\text{[math]}$ 处，使得 $\text{[math]}$ ．当 $\text{[math]}$ 取得最小值时，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 以 $\text{[math]}$ 为腰的等腰三角形时，请直接写出 $\text{[math]}$ 的值．

证明题困难

2. 如图所示， $\text{[math]}$ 的半径是4， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别与 $\text{[math]}$ 相切于点A、点B，若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的夹角 $\text{[math]}$ ．

(1) 若点C是圆周上的一动点， $\text{[math]}$ 的大小为定值吗？若是定值，请求出它的度数．

(2) 求 $\text{[math]}$ 的周长．

解答题普通

3. 根据背景素材，在两种解决方法里选择其中一种作答．

计算遮雨棚的高度

背景素材

如图，15只空油桶（每只油桶底面的直径均为50cm）堆在一起，要给它们盖一个遮雨棚，遮雨棚起码要多高？（ $\text{[math]}$ ，结果精确到0.1cm）

问题解决

解决方法一

如下图某小组同学通过测量不同层数的高度，完成了如下的表格：

油桶层数 $\text{[math]}$	1	2	3	4	……
遮雨棚高度 $\text{[math]}$	50cm	93.3cm	136.6cm	179.9cm

（1）根据表格内容，求出遮雨棚高度 $\text{[math]}$ 和层数 $\text{[math]}$ 的关系式；

（2）当油桶层数是5层时，这样遮雨棚高度是多少？

解决方法二

如下图某小组同学根据油桶的摆放方式，绘制了如下截面图， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 三点都是对应圆的圆心， $\text{[math]}$ ．

（3）判断△ $\text{[math]}$ 的形状，并说明理由；

（4）求出遮雨棚的高度．

(1) 根据表格内容，求出遮雨棚高度 $\text{[math]}$ 和层数 $\text{[math]}$ 的关系式；

(2) 当油桶层数是5层时，这样遮雨棚高度是多少？

(3) 判断△ $\text{[math]}$ 的形状，并说明理由；

(4) 求出遮雨棚的高度．

实践探究题普通

1. 如图，在正六边形ABCDEF中，AB=6，点M在边AF上，且AM=2.若经过点M的直线l将正六边形面积平分，则直线l被正六边形所截的线段长是.

填空题普通

2. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ .有一个锐角为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .若点P在直线 $\text{[math]}$ 上（不与点A、B重合），且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为.

填空题普通

3. 在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），B（0，﹣5），若在x轴正半轴上有一点C，使∠ACB＝30°，则点C的横坐标是（）

A. 3 $\text{[math]}$ 4 $\text{[math]}$ B. 12 C. 6+3 $\text{[math]}$ D. 6 $\text{[math]}$

单选题普通