如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=22.5°，斜边AB的垂直平分线交AC于点D，点F在AC上，点E在BC的延长线上，CE=CF，连接BF，DE．线段DE和BF在数量和位置上有什么关系？并说明理由．

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1. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=22.5°，斜边AB的垂直平分线交AC于点D，点F在AC上，点E在BC的延长线上，CE=CF，连接BF，DE．线段DE和BF在数量和位置上有什么关系？并说明理由．

【考点】

线段垂直平分线的性质;

【答案】

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解答题普通

能力提升

变式训练

拓展培优

真题演练

换一批

1. 如图，通过防治“非典”，人们增强了卫生意识，大街随地乱扔生活垃圾的人少了，人们自觉地将生活垃圾倒入垃圾桶中，如图24-49所示，A、B、C为市内的三个住宅小区，环保公司要建一垃圾回收站，为方便起见，要使得回收站建在三个小区都相等的某处，请问如果你是工程师，你将如何选址．

解答题普通

1. 下面是“作 $\text{[math]}$ 的外接圆”的尺规作图方法．

（1）如图，分别以A，B为圆心，大于 $\text{[math]}$ 的长为半径画弧，分别在直线 $\text{[math]}$ 两侧交于D，E两点，作过点D和点E的直线 $\text{[math]}$ ；

（2）分别以B，C为圆心，大于 $\text{[math]}$ 的长为半径画弧，分别在直线 $\text{[math]}$ 两侧交于F，G两点，作过点F和点G的直线 $\text{[math]}$ ；

（3）直线 $\text{[math]}$ 和直线 $\text{[math]}$ 相交于点O；

（4）以点O为圆心，以 $\text{[math]}$ 长为半径作出 $\text{[math]}$ 的外接圆 $\text{[math]}$ ．

上述方法由 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ，从而知 $\text{[math]}$ 经过A，B，C三点．其中获得 $\text{[math]}$ 的依据是（）

A. 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 B. 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 C. 角平分线上的点到角的两边的距离相等 D. 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上

单选题容易

2. 三角形的外心是（）

A. 三角形三条高线的交点 B. 三角形三条中线的交点 C. 三角形三条内角角平分线的交点 D. 三角形三边垂直平分线的交点

单选题容易

3. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，则下列结论正确的是（）

A. AE＝3CE B. AE＝2CE C. AE＝BD D. BC＝2CE

单选题容易

1. 定义：在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，对于 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 边的垂直平分线上，以点 $\text{[math]}$ 为圆心， $\text{[math]}$ 为半径作 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 三条边的所有公共点个数为 $\text{[math]}$ ，则称点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 关于边 $\text{[math]}$ 的“可控 $\text{[math]}$ 点”．

例如：如图 $\text{[math]}$ ，已知点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ．点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 关于边 $\text{[math]}$ 的“可控 $\text{[math]}$ 点”．

(1) 如图 $\text{[math]}$ ，如果点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 关于边 $\text{[math]}$ 的“可控 $\text{[math]}$ 点”，那么 $\text{[math]}$ _______．

(2) 如图 $\text{[math]}$ ，若点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$ 关于边 $\text{[math]}$ 的“可控 $\text{[math]}$ 点”坐标是（），

$\text{[math]}$ 关于边 $\text{[math]}$ 的“可控 $\text{[math]}$ 点”的纵坐标 $\text{[math]}$ 的取值范围是_______．

(3) 如图 $\text{[math]}$ ，若点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ．

如果直线 $\text{[math]}$ 上存在 $\text{[math]}$ 关于边 $\text{[math]}$ 的“可控 $\text{[math]}$ 点”，那么 $\text{[math]}$ 的取值范围是____________．

解答题困难

2. 如图，在△ABC中，AB＜AC，边 $\text{[math]}$ 的垂直平分线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的外角 $\text{[math]}$ 的平分线于点 $\text{[math]}$ ，垂足为E，DF⊥AC于点F， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接CD．

(1) 求证：BG＝CF；

(2) 若AB＝10cm，AC＝14cm，求AG的长．

综合题普通

3. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， AB的垂直平分线DE交AB于点D ，交BC于点E ，连接AE ．

(1) 求证：AE是∠BAC的角平分线：

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求BC的长．

解答题普通

1. 如图，在Rt $\text{[math]}$ ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，分别以点B和点C为圆心、大于 $\text{[math]}$ BC的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点，作直线EF交AB于点D，连接CD，则 $\text{[math]}$ ACD的周长是．

填空题普通

2. 如图，在 $\text{[math]}$ 中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（）

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题普通

3. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于 $\text{[math]}$ 的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN ，交BC于点D ，连接AD ，则∠CAD的度数是（）

A. 20° B. 30° C. 45° D. 60°

单选题普通