将1，2，3，…，50，这50个整数，任意分为25组，每组2个数．现将每组数中的一个数记为x，另一个数记为y，计算代数式的值，25组数代入后可得到25个值，则这25个值之和的最小值为．

1. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，观察以上计算过程，寻找规律计算 $\text{[math]}$ ．

填空题容易

2. 任取一个三位数，把这个三位数的百位数字乘2，若积不大于9，则将积作为下一个数的百位数字，若积大于9，则将积的两个数位上的数字之和作为下一个数的百位数字，对起始数的十位数字和个位数字进行相同的操作，得到下一个数的十位数字和个位数字，完成第1次操作；然后重复这个过程．如：以126作为原始数，第一次操作后得到的数为243．若以470作为原始数，则第1次操作后得到的数是，第2024次操作后得到的数是．

填空题容易

3. 式子“ $\text{[math]}$ ”表示从1开始的50个自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为 $\text{[math]}$ ，这里“ $\text{[math]}$ ”是求和符号．计算 $\text{[math]}$ 的值为．

填空题容易

1. 已知 $\text{[math]}$ 是不为 $\text{[math]}$ 的有理数，我们把 $\text{[math]}$ 称为 $\text{[math]}$ 的差倒数，如： $\text{[math]}$ 的差倒数是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的差倒数是 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的差倒数， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的差倒数， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的差倒数，…，依此类推，则 $\text{[math]}$ ．

填空题普通

2. 在数轴上有理数a， $\text{[math]}$ 分别用点A，A₁表示，我们称点A₁是点A的“差倒数点”，已知数轴上点A的差倒数点为点A₁ ，点A₁的差倒数点为点A₂；点A₂的差倒数点为点A₃…这样依次得到点A₁ ， A₂ ， A₃ ， …A_n ，若点A，A₁ ， A₂ ， A₃ ， …A_n在数轴上分别表示的有理数为a，a₁ ， a₂ ， a₃ ， …a_n ，则当 $\text{[math]}$ 时，代数式a₁+a₂+a₃+a₄+⋯+a₂₀₂₃的值为．

填空题普通

3. 已知 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的值为．

填空题普通

1. 综合与实践

问题情境 我国著名的数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事难”.在学完乘方运算后，老师在数学活动课上把一个面积为 $\text{[math]}$ 的长方形对折，让两部分完全重叠，那么折叠后图形的面积是原来的二分之一即 $\text{[math]}$ ，沿着折痕剪开得到的长方形 $\text{[math]}$ ，把再按刚才的方法对折．得到第 $\text{[math]}$ 个长方形的面积又是长方形 $\text{[math]}$ 的面积的一半即 $\text{[math]}$ ，依次操作下去…，（此题结果可用类似 $\text{[math]}$ 的形式表示）

规律发现 操作第 $\text{[math]}$ 次后，剪下的第 $\text{[math]}$ 个长方形的面积是________；

知识应用 操作第 $\text{[math]}$ 次后，通过面积割补形数结合，把这十个长方形的面积加起来应该是________；

知识迁移

（1）如图，请你用“数形结合”的思想.求 $\text{[math]}$ 的值为________；

（2）请你利用（1）的结论，求下列式子的值： $\text{[math]}$ .

解答题普通

2. 【阅读中思考】

设 $\text{[math]}$ 是不为0和1的有理数，我们把1与 $\text{[math]}$ 的倒数的差，即 $\text{[math]}$ 称为 $\text{[math]}$ 的倒数差，如：2的倒数差是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的倒数差是 $\text{[math]}$ ．

【探索中理解】

若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的倒数差， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的倒数差， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的倒数差，…，以此类推．

（1）先写出计算 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的算式，在求出它们的值．

（2）求 $\text{[math]}$ 的值为____________．（直接写出答案）

【应用拓展】

设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 都是不为0和1的有理数，将一个数组 $\text{[math]}$ 中的数分别按照材料中“倒数差”的定义作变换，第1次变换后得到数组 $\text{[math]}$ ，第2次变换后得数组 $\text{[math]}$ ， …，第 $\text{[math]}$ 次变换后得到数组 $\text{[math]}$ ．