如图，在平面直角坐标系中，为轴正半轴上的一个动点．以为焦点、为顶点作抛物线．设为第一象限内抛物线上的一点，为轴负半轴上一点，设，使得为拋物线的切线，且．圆均与直线切于点，且均与轴相切．

1. 如图，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 轴正半轴上的一个动点．以 $\text{[math]}$ 为焦点、 $\text{[math]}$ 为顶点作抛物线 $\text{[math]}$ ．设 $\text{[math]}$ 为第一象限内抛物线 $\text{[math]}$ 上的一点， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 轴负半轴上一点，设 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 为拋物线 $\text{[math]}$ 的切线，且 $\text{[math]}$ ．圆 $\text{[math]}$ 均与直线 $\text{[math]}$ 切于点 $\text{[math]}$ ，且均与 $\text{[math]}$ 轴相切．

(1) 试求出 $\text{[math]}$ 之间的关系；

(2) 是否存在点 $\text{[math]}$ ，使圆 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的面积之和取到最小值．若存在，求出点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】

抛物线的应用;

【答案】

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解答题困难

1. 如图，已知椭圆 $\text{[math]}$ ，双曲线 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的右顶点，过 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ 分别交 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ 分别交 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 的斜率分别为 $\text{[math]}$ .

(1) 若直线 $\text{[math]}$ 过椭圆 $\text{[math]}$ 的右焦点，求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求四边形 $\text{[math]}$ 面积的最小值.

解答题困难

2. 早在一千年之前，我国已经把溢流孔用于造桥技术，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击．现设桥拱上有如图所示的4个溢流孔，桥拱和溢流孔的轮廓线均为抛物线的一部分，且4个溢流孔的轮廓线相同．根据图上尺寸，试分别求出桥拱所在的抛物线方程和溢流孔所在的抛物线方程，及溢流孔与桥拱交点 $\text{[math]}$ 的位置．

解答题普通

3. 某抛物线型拱桥的跨度是20米，拱高4米．在建桥时每隔4米需要一支柱支撑，其中最长的支柱是多少米？

解答题普通