如图所示，物块A、B质量分别为，，用轻绳相连并用劲度系数的轻质弹簧系住挂在天花板上静止不动。B正下方有一个半径为的四分之一光滑固定圆弧轨道，其顶点a距离物块B的高度差。某时刻A、B间的绳子被剪断，然后A做周期的简谐运动，B下落并从a点平滑的进入光滑固定圆弧轨道。当A第1次到达最高点时，B恰好运动到圆弧末端，然后在圆弧末端与质量为的滑块C相碰，碰后B、C结合为滑块D。D平滑的滑上与圆弧末端等高的传送带，传送带的水平长度为，以的速度顺时针转动，D与传送带间的动摩擦因数为。传送带右端有一等高的固定水平平台，平台上表面光滑，平台上静止着2024个相距较近的质量为的小球，D能够平滑地滑上平台，且D与小球、相邻小球之间的碰撞均为弹性正碰（A、B、D小球均可以看作质点，重力加速度，忽略空气阻力）。（答案可以用根号表示）（1）求物块A做简谐运动的振幅A；（2）求光滑固定圆轨道对物块B的冲量大小I；（3）求整个运动过程中D与传送带之间因摩擦产生的热量Q。

1. 如图所示，物块A、B质量分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，用轻绳相连并用劲度系数 $\text{[math]}$ 的轻质弹簧系住挂在天花板上静止不动。B正下方有一个半径为 $\text{[math]}$ 的四分之一光滑固定圆弧轨道，其顶点a距离物块B的高度差 $\text{[math]}$ 。某时刻A、B间的绳子被剪断，然后A做周期 $\text{[math]}$ 的简谐运动，B下落并从a点平滑的进入光滑固定圆弧轨道。当A第1次到达最高点时，B恰好运动到圆弧末端，然后在圆弧末端与质量为 $\text{[math]}$ 的滑块C相碰，碰后B、C结合为滑块D。D平滑的滑上与圆弧末端等高的传送带，传送带的水平长度为 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 的速度顺时针转动，D与传送带间的动摩擦因数为 $\text{[math]}$ 。传送带右端有一等高的固定水平平台，平台上表面光滑，平台上静止着2024个相距较近的质量为 $\text{[math]}$ 的小球，D能够平滑地滑上平台，且D与小球、相邻小球之间的碰撞均为弹性正碰（A、B、D小球均可以看作质点，重力加速度 $\text{[math]}$ ，忽略空气阻力）。（答案可以用根号表示）

（1）求物块A做简谐运动的振幅A；

（2）求光滑固定圆轨道对物块B的冲量大小I；

（3）求整个运动过程中D与传送带之间因摩擦产生的热量Q。

【考点】

碰撞模型; 简谐运动;

【答案】

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解答题困难

1. 如图所示，一滑板 $\text{[math]}$ 的上表面由长度为 $\text{[math]}$ 的水平部分 $\text{[math]}$ 和半径为 $\text{[math]}$ 的四分之一光滑圆弧 $\text{[math]}$ 组成，滑板静止于光滑的水平地面上。物体 $\text{[math]}$ （可视为质点）置于滑板上面的A点，物体 $\text{[math]}$ 与滑板水平部分的动摩擦因数为 $\text{[math]}$ ，一根长度 $\text{[math]}$ 、不可伸长的细线，一端固定于 $\text{[math]}$ 点，另一端系一质量为 $\text{[math]}$ 的小球 $\text{[math]}$ ，小球 $\text{[math]}$ 位于最低点时与物体 $\text{[math]}$ 处于同一高度并恰好接触。现将小球 $\text{[math]}$ 拉至与 $\text{[math]}$ 同一高度（细线处于水平拉直状态），然后由静止释放，小球 $\text{[math]}$ 向下摆动并与物体 $\text{[math]}$ 发生弹性碰撞（碰撞时间极短），已知物体 $\text{[math]}$ 的质量为 $\text{[math]}$ ，滑板的质量为 $\text{[math]}$ ，求：

（1）小球 $\text{[math]}$ 与物体 $\text{[math]}$ 碰撞前瞬间小球 $\text{[math]}$ 的速度；

（2）小球 $\text{[math]}$ 与物体 $\text{[math]}$ 碰撞后瞬间物体 $\text{[math]}$ 的速度；

（3）要使物体 $\text{[math]}$ 在相对滑板反向运动过程中，相对地面有向右运动的速度，求 $\text{[math]}$ 的取值范围。

解答题困难

2. 如图甲，一质量为m的物块A与轻质弹簧连接，静止在光滑水平面上。物块B向A运动，从 $\text{[math]}$ 时与弹簧接触，到 $\text{[math]}$ 时与弹簧分离。A、B的 $\text{[math]}$ 图像如图乙所示。已知从 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 时间内，物块A运动的距离为 $\text{[math]}$ ；弹簧始终处于弹性限度内。求：

（1）物块B的质量；

（2）分离后物块A、B的速度大小；

（3）弹簧的最大压缩量。

解答题困难

3. 如图所示为某游乐场中一滑道游乐设施的模型简化图，倾斜轨道AB与半径R=0.5m的圆形轨道相切于B点，圆形轨道在最低点C处略有错开。一质量为m=1kg的物块（可视为质点）从倾斜轨道AB的顶端A点由静止开始滑下，从B点进入圆形轨道，并恰好通过轨道的最高点，接着进入水平轨道CD，然后滑上与D点等高的质量为M=2kg的滑槽，物块最终未离开滑槽。滑槽开始时静止在光滑水平地面上，EF部分长为 $\text{[math]}$ ， FG部分为半径r=0.1m的四分之一圆弧轨道。已知物块与斜面轨道AB和水平轨道CD间的动摩擦因数均为 $\text{[math]}$ ，物块与滑槽EF之间的动摩擦因数 $\text{[math]}$ ，其他接触面均光滑，水平轨道CD长为 $\text{[math]}$ ， OB与OC的夹角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，重力加速度g取10 $\text{[math]}$ ，不计空气阻力以及轨道连接处的机械能损失。求：

（1）物块通过圆形轨道最低点C处时，对轨道的压力大小；

（2）倾斜轨道AB的长度 $\text{[math]}$ ；

（3）若物块始终不脱离滑槽，则物块与滑槽EF段的动摩擦因数 $\text{[math]}$ 的范围。

解答题困难