如图所示，小滑块1、2质量分别为和，滑块1在半径为的四分之一光滑圆弧最高点A处，滑块2置于粗糙水平轨道端点处，间距为L。C点正下方处固定一劲度系数为的轻弹簧，弹簧右端固定一质量为的滑块，置于光滑水平面上。静止释放滑块1，1与2发生弹性碰撞后恰好静止于点。滑块2被碰后做平抛运动的同时给滑块一个向右的初速度，滑块2与运动中的在平衡位置相碰后竖直向上运动至与等高的点。已知所有的碰撞时间极短，质量为的弹簧振子振动周期为，重力加速度为，求：

1. 如图所示，小滑块1、2质量分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，滑块1在半径为 $\text{[math]}$ 的四分之一光滑圆弧最高点A处，滑块2置于粗糙水平轨道端点 $\text{[math]}$ 处， $\text{[math]}$ 间距为L。C点正下方 $\text{[math]}$ 处固定一劲度系数为 $\text{[math]}$ 的轻弹簧，弹簧右端固定一质量为 $\text{[math]}$ 的滑块，置于光滑水平面上。静止释放滑块1，1与2发生弹性碰撞后恰好静止于 $\text{[math]}$ 点。滑块2被碰后做平抛运动的同时给滑块 $\text{[math]}$ 一个向右的初速度 $\text{[math]}$ ，滑块2与运动中的 $\text{[math]}$ 在平衡位置相碰后竖直向上运动至与 $\text{[math]}$ 等高的 $\text{[math]}$ 点。已知所有的碰撞时间极短，质量为 $\text{[math]}$ 的弹簧振子振动周期为 $\text{[math]}$ ，重力加速度为 $\text{[math]}$ ，求：

(1) 滑块1与水平面BC间的动摩擦因数 $\text{[math]}$ ；

(2) $\text{[math]}$ 点与滑块 $\text{[math]}$ 的高度差 $\text{[math]}$ ；

(3) 滑块2与 $\text{[math]}$ 第二次碰撞后弹簧振子的振幅A。

【考点】

碰撞模型; 简谐运动;

【答案】

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解答题困难

1. 如图甲所示，水平轨道ABEF之间有一凹槽，凹槽中放置一长度与凹槽相同且不粘连的长木板，其质量m₃ = 2m，长木板的上表面与轨道AB和EF齐平，并固定一轻质半圆管道CD，其半径为R。忽略管的内径，O为管道的圆心。质量为m₂ = m的物块2静止在长木板上表面的左端，一质量为 $\text{[math]}$ 的物块1以一定的初速度向右运动，与物块2发生弹性碰撞，1和2均可视为质点，物块2进入管道后恰能到达最高点，重力加速度取g，不计一切摩擦。

(1) 求物块1的初速度大小v₀；

(2) 物块2运动到管形轨道内的某位置时，与管内壁和外壁均无相互作用力，求该位置与O点连线和OD之间夹角的余弦值；

(3) 若将轻质半圆管道换成轻质半圆轨道，如图乙所示，物块2经碰撞后以 $\text{[math]}$ 的速度进入C点且能通过半圆轨道的最高点D，为使长木板不与凹槽底部脱离，求k的取值范围。

解答题困难

2. 如图，半径为R=1.8m的四分之一光滑圆轨道固定在竖直平面内，其末端与水平地面PM相切于P点，PM的长度d=2.7m。一长为L=3.3m的水平传送带以恒定速率v₀=1m/s逆时针转动，其右端与地面在M点无缝对接。物块a从圆轨道顶端由静止释放，沿轨道下滑至P点，再向左做直线运动至M点与静止的物块b发生弹性正碰，碰撞时间极短。碰撞后b向左运动到达传送带的左端N。已知a的质量为m_a=1kg，b的质量为m_b=2kg，它们均可视为质点。a、b与地面及传送带间的动摩擦因数均为μ=0.5，取重力加速度大小g=10m/s²。求：

(1) a运动到圆轨道底端时轨道对它的支持力大小；

(2) b从M运动到N的时间。

解答题普通

3. 如图所示为一轨道模型图，由水平轨道AB、固定凹槽BGHC（GH足够长）、半圆轨道DE（D是最高点，E是最低点，C在D的正下方，且C和D间隙不计）组成，其中半圆轨道DE的半径R大小可调，所有轨道及凹槽均光滑。长度L=0.5m的水平传送带EF与DE平滑衔接。质量M=0.2kg的平板紧靠凹槽侧璧BG放置，平板上表面与ABC平面齐平。质量m=0.1kg的小滑块（可视为质点）被弹簧弹出后，滑上平板并带动平板一起运动，平板与侧璧CH相撞后将原速弹回。已知ABC平面与水平地面高度差h=1m，传送带顺时针传送速度v=1m/s，滑块与平板和传送带之间的动摩擦因数均为μ=0.4。

(1) 调节半圆轨道DE的半径为R=0.4m，被弹出的滑块恰好能滑过凹槽，且恰好不脱离圆轨道DE，求：

①小滑块沿圆轨道滑过E点时受到的支持力F_N；

②平板的长度及弹簧释放的弹性势能E_p。

(2) 在保持问（1）中其他条件不变的情形下，仅改变R大小，滑块从F飞出落至地面，水平位移为x，求x的最大值。

解答题困难