如图，在中，P为三角形内一点，则的最小值为．

1. 小宁在迪卡龙购买了拳击反应球作为居家健身器材．如图，若将球体支架最底端O到球体最顶端A看成一条线段 $\text{[math]}$ ，当反应球被击打时，可看作线段 $\text{[math]}$ 绕着点O旋转得到线段 $\text{[math]}$ （在安全角度范围内旋转）．小宁击打反应球后 $\text{[math]}$ 与支架 $\text{[math]}$ 的水平距离为 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，则球体支架 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．

填空题容易

2. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转得到 $\text{[math]}$ ，使得点 $\text{[math]}$ 的对应点点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 上，此时 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为．

填空题容易

3. 如图，将 $\text{[math]}$ 绕点O逆时针旋转 $\text{[math]}$ 后得到 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 等于．

填空题容易

1. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 内一点，则点 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 三个顶点的距离和的最小值是．

填空题普通

2. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点C按逆时针方向旋转得到 $\text{[math]}$ ，点A的对应点为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 恰好在 $\text{[math]}$ 边上，则点 $\text{[math]}$ 与点B之间的距离为．

填空题普通

3. 如图，等边 $\text{[math]}$ 的边长为6， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 按照某一点旋转至得到 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别在边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上，那么五边形 $\text{[math]}$ 的周长为．

填空题普通

1. 如图， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别在射线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上运动，将线段 $\text{[math]}$ 绕点A逆时针方向旋转 $\text{[math]}$ 得到线段 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ 的最大距离为（）

A. 2.4 B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题普通

2. 如图，15只空油桶堆在一起，每只油桶底面的直径均为45cm，要给他们盖一个遮雨棚，遮雨棚的最低高度为（）cm.

A. 225 B. 90 $\text{[math]}$ +45 C. 225-15 $\text{[math]}$ D. 135 $\text{[math]}$

单选题普通

3. 在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，已知四边形 $\text{[math]}$ 的周长为32，求 $\text{[math]}$ 的值．

解答题普通

1. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知点A和点 $\text{[math]}$ ，对于直线 $\text{[math]}$ 外一点 $\text{[math]}$ ，给出如下定义：若 $\text{[math]}$ ，将点A绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得到点 $\text{[math]}$ ，再将点 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到点 $\text{[math]}$ ，则称点 $\text{[math]}$ 为点 $\text{[math]}$ 关于A、 $\text{[math]}$ 的“关联点”．

(1) 如图，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

①在点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 关于A、 $\text{[math]}$ 的“关联点”是_____，点_____关于A、 $\text{[math]}$ 的“关联点”是点 $\text{[math]}$ ；

②已知点 $\text{[math]}$ 在射线 $\text{[math]}$ 上，若点 $\text{[math]}$ 关于A、 $\text{[math]}$ 的“关联点” $\text{[math]}$ 在以点 $\text{[math]}$ 为圆心， $\text{[math]}$ 为半径的圆内，直接写出点 $\text{[math]}$ 的横坐标 $\text{[math]}$ 的取值范围_______；

(2) 已知 $\text{[math]}$ ，将点A绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到点 $\text{[math]}$ ，若点 $\text{[math]}$ 为点 $\text{[math]}$ 关于A、 $\text{[math]}$ 的“关联点”，记 $\text{[math]}$ 的长为 $\text{[math]}$ ，直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围_____．

解答题困难

2. 问题：如图1，在等边 $\text{[math]}$ 内部有一点P，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．求 $\text{[math]}$ 的度数？

(1) 请写出常见四组勾股数：______、______、______、______．

(2) 解决方法：通过观察发现 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的长度符合勾股数，但由于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 不在一个三角形中，想法将这些条件集中在一个三角形，于是可将 $\text{[math]}$ 绕A逆时针旋转 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ ，此时 $\text{[math]}$ ，这样利用等边三角形和全等三角形知识，便可求出 $\text{[math]}$ ______．

(3) 应用：请你利用（2）题的思路，解答下面的问题：如图2，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， E，F为 $\text{[math]}$ 的点，且 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请求出线段 $\text{[math]}$ 的长度（用m、n的代数式表示）；

解答题困难

3. 给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．

(1) 以下四边形中，是勾股四边形的为________（填序号即可）；

①平行四边形；②矩形；③有一个角为直角的任意四边形；④有一个角为60°的菱形．

(2) 如图1，将 $\text{[math]}$ 绕顶点 $\text{[math]}$ 按顺时针方向旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ．

①连接 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，求证：四边形 $\text{[math]}$ 是勾股四边形．

②如图2，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针方向旋转得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．连接 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长度．