已知为坐标原点，为抛物线：的焦点，点在抛物线上，其中，弦的中点为，以为端点的射线与抛物线交于点．（1）若恰好是的重心，求；（2）若，求的取值范围．

1. 已知 $\text{[math]}$ 为坐标原点， $\text{[math]}$ 为抛物线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的焦点，点 $\text{[math]}$ 在抛物线上，其中 $\text{[math]}$ ，弦 $\text{[math]}$ 的中点为 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为端点的射线 $\text{[math]}$ 与抛物线交于点 $\text{[math]}$ ．

（1）若 $\text{[math]}$ 恰好是 $\text{[math]}$ 的重心，求 $\text{[math]}$ ；

（2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

【考点】

抛物线的定义; 抛物线的简单性质; 直线与圆锥曲线的综合问题;

【答案】

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解答题困难

1. 若 $\text{[math]}$ 为抛物线 $\text{[math]}$ 上一点，过 $\text{[math]}$ 作两条关于 $\text{[math]}$ 对称的直线分别另交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 两点.

(1) 求抛物线 $\text{[math]}$ 的方程与焦点坐标；

(2) 判断直线 $\text{[math]}$ 的斜率是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.

解答题普通

2. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ，右顶点为 $\text{[math]}$ ，上顶点为 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上的一点．

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 若 $\text{[math]}$ 点坐标为 $\text{[math]}$ ，则在 $\text{[math]}$ 上是否存在点 $\text{[math]}$ 使 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，若存在，请求出所有满足条件的点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由；

(3) 已知 $\text{[math]}$ 点坐标为 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 交于另一点 $\text{[math]}$ ，当直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴和 $\text{[math]}$ 轴均不平行时，有 $\text{[math]}$ ，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围．

解答题困难

3. 古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积等于圆周率 $\text{[math]}$ 与椭圆的长半轴长、短半轴长的乘积.已知椭圆 $\text{[math]}$ 的中心为坐标原点，焦点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 均在 $\text{[math]}$ 轴上，面积为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在椭圆 $\text{[math]}$ 上.

(1) 求椭圆 $\text{[math]}$ 的标准方程；

(2) 经过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 的面积比为 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 的方程.

解答题普通