如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，顶点M关于x轴的对称点是M' ．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线AM'与此抛物线的另一个交点为C，求△CAB的面积；（3）是否存在过A，B两点的抛物线，其顶点P关于x轴的对称点为Q，使得四边形APBQ为正方形？若存在，求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

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1. 如图，抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，顶点M关于x轴的对称点是M^' ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若直线AM^'与此抛物线的另一个交点为C，求△CAB的面积；

（3）是否存在过A，B两点的抛物线，其顶点P关于x轴的对称点为Q，使得四边形APBQ为正方形？若存在，求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

【考点】

二次函数的实际应用-几何问题;

【答案】

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解答题困难

基础巩固

能力提升

变式训练

拓展培优

真题演练

换一批

1. 如图，空地上有一堵墙，某人利用墙和木栏围成一个矩形菜园 $\text{[math]}$ ．已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．设矩形的宽为x，写出矩形菜园 $\text{[math]}$ 的面积 $\text{[math]}$ 与x（m）之间的函数表达式．

综合题容易

2. 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 网点，

（1）求该抛物线的解析式；

（2）设抛物线上有一个动点 $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ 时，请直接写出此时点 $\text{[math]}$ 的坐标．

解答题容易

3. 某单位为了创建城市文明单位，准备在单位的墙（线段MN所示）外开辟一处长方形的土地进行绿化美化，除墙体外三面要用栅栏围起来，计划用栅栏50米．不考虑墙体长度，问长方形的各边的长为多少时，长方形的面积最大，最大值是多少？

解答题容易

1. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x²﹣2mx+m²﹣1与y轴交于点C．

（1）试用含m的代数式表示抛物线的顶点坐标；

（2）将抛物线y＝x²﹣2mx+m²﹣1沿直线y＝﹣1翻折，得到的新抛物线与y轴交于点D．若m＞0，CD＝8，求m的值；

（3）已知A（2k，0），B（0，k），在（2）的条件下，当线段AB与抛物线y＝x²﹣2mx+m²﹣1只有一个公共点时，直接写出k的取值范围．

解答题普通

如图，四边形 $\text{[math]}$ 的两条对角线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 互相垂直，垂足为 $\text{[math]}$ 点，且 $\text{[math]}$ ，若四边形 $\text{[math]}$ 有最大面积，则求出此时的 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的长及这个最大的面积．

解答题普通

3. 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴相交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，与 $\text{[math]}$ 轴相交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 是抛物线的对称轴，在直线 $\text{[math]}$ 右侧的抛物线上有一动点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴的下方，当 $\text{[math]}$ 的面积是 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的面积；

（3）在（2）的条件下，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 轴上一点，点 $\text{[math]}$ 是抛物线上一动点，是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得以点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为顶点，以 $\text{[math]}$ 为一边的四边形是平行四边形，若存在，求出点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

解答题困难

1. 将一根长8米的铁丝首尾相接围成矩形，则围成的矩形的面积的最大值是．

填空题容易

2. 过山车在轨道上运行的过程中有一段路线可以看作是抛物线的一部分，点A，B，C为该抛物线上的三点，如图y表示运行的竖直高度（单位：m），x表示水平距离（单位：m）.由此可推断出，此过山车运行到最低点时，所对应的水平距离x可能为（）

A. 4 B. 5 C. 7 D. 9

单选题普通

3. 如图，这是用长度为 $\text{[math]}$ 的篱笆围成的矩形菜地，则所围成矩形 $\text{[math]}$ 的最大面积是 $\text{[math]}$ ．

填空题普通

1. 如图，在直角坐标系中，点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ，将线段 $\text{[math]}$ 绕原点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ ，得到线段 $\text{[math]}$ ．

(1) 求点 $\text{[math]}$ 的坐标；

(2) 求经过 $\text{[math]}$ 三点的抛物线的解析式；

(3) 在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 周长最小?若存在，求点出 $\text{[math]}$ 的坐标和 $\text{[math]}$ 的周长；若不存在，请说明理由；

(4) 如果点 $\text{[math]}$ 是（2）中的抛物线上的动点，那么是否存在点 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ 的面积为： $\text{[math]}$ ；若有，求出此时 $\text{[math]}$ 点的横坐标；若没有，请说明理由．

解答题困难

2. 以农业和农村为载体的生态农业观光园，不仅具有生产性功能，还具有改善生态环境质量，为人们提供观光、休闲、度假的生活性功能．数学探究小组以“设计矩形生态农业观光园”为主题开展数学实践活动．

如图， $\text{[math]}$ 是一块用篱笆围出的直角三角形田地，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，数学探究小组准备继续用篱笆在该田地中围出“矩形生态农业观光园”．该观光园为矩形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 边上， $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 边上， $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 边上，（其中 $\text{[math]}$ 即为数学探究小组新添加的篱笆）．