在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点P在抛物线上，横坐标为m，点P不与点A重合．

1. 在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，点P在抛物线上，横坐标为m，点P不与点A重合．

(1) 求a值．

(2) 设点D是抛物线的顶点，过点P作直线 $\text{[math]}$ 轴交抛物线于点E，当 $\text{[math]}$ 时，求m的值．

(3) 将抛物线上P、A两点之间的部分（包括端点）记作图象G，当图象G的最高点与最低点在直线 $\text{[math]}$ 的异侧时，求m的取值范围．

(4) 设点 $\text{[math]}$ ，在平面内构造面积最小的矩形，使该矩形的边均与坐标轴垂直且A，P，Q三点都在矩形的内部或边上，当抛物线在矩形内部的部分所对应的函数值y随x的增大而减小且 $\text{[math]}$ 平分该矩形面积时，直接写出m的取值范围．

【考点】

待定系数法求二次函数解析式; 矩形的性质; 二次函数的实际应用-几何问题;

【答案】

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解答题困难

1. 定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P（x，y）的纵坐标y与其横坐标x的差y﹣x称为点P的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”．

（1）求点A（2，1）的“坐标差”和抛物线y＝﹣x²+3x+4的“特征值”．

（2）某二次函数＝﹣x²+bx+c（c≠0）的“特征值”为﹣1，点B与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等，求此二次函数的解析式．

（3）如图所示，二次函数y＝﹣x²+px+q的图象顶点在“坐标差”为2的一次函数的图象上，四边形DEFO是矩形，点E的坐标为（7，3），点O为坐标原点，点D在x轴上，当二次函数y＝﹣x²+px+q的图象与矩形的边有四个交点时，求p的取值范围．

解答题困难

2. 如图1，平面直角坐标系中，有抛物线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ．设抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴相交于点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴正半轴相交于点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的值．

(2) 如图2，将抛物线 $\text{[math]}$ 平移得到抛物线 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，求抛物线 $\text{[math]}$ 的解析式．

(3) 设（2）中 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴左侧的部分与 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴右侧的部分组成的新图象记为 $\text{[math]}$ ．过点 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ 平行于 $\text{[math]}$ 轴，与图象 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点，如图3．

①过 $\text{[math]}$ 的最高点 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ （点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 左侧），求 $\text{[math]}$ 的值；

② $\text{[math]}$ 是图象 $\text{[math]}$ 上一个动点，当点 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 的距离小于4时，直接写出点 $\text{[math]}$ 横坐标 $\text{[math]}$ 的取值范围．

解答题困难

3. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，抛物线 $\text{[math]}$ ．

(1) 当抛物线过点 $\text{[math]}$ 时，求抛物线的表达式；

(2) 求这个二次函数的对称轴（用含 $\text{[math]}$ 的式子表示）；

(3) 若抛物线上存在两点 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

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