物理学中，力与运动关系密切，而力的空间累积效果——做功，又是能量转化的量度。因此我们研究某些运动时，可以先分析研究对象的受力特点，进而分析其能量问题。已知重力加速度为g，且在下列情境中，均不计空气阻力。（1）劲度系数为k1的轻质弹簧上端固定，下端连一可视为质点的小物块，若以小物块的平衡位置为坐标原点O，以竖直向下为正方向建立坐标轴Ox，如图所示，用x表示小物块由平衡位置向下发生的位移。a.求小物块的合力F与x的关系式，并据此说明小物块的运动是否为简谐运动；b.系统的总势能为重力势能与弹性势能之和。请你结合小物块的受力特点和求解变力功的基本方法，以平衡位置为系统总势能的零势能参考点，推导小物块振动位移为x时系统总势能EP的表达式。（2）图所示为理想单摆，摆角θ足够小，可认为是简谐运动。其平衡位置记为O'点。a.若已知摆球的质量为m，摆长为L，在偏角很小时，摆球对于O'点的位移x'的大小与θ角对应的弧长、弦长都近似相等，即近似满足：sinθ≈。请推导得出小球在任意位置处的回复力与位移的比例常数k2的表达式； b.若仅知道单摆的振幅A，及小球所受回复力与位移的比例常数k2 ，求小球在振动位移为时的动能Ek（用A和k2表示）。

1. 物理学中，力与运动关系密切，而力的空间累积效果——做功，又是能量转化的量度。因此我们研究某些运动时，可以先分析研究对象的受力特点，进而分析其能量问题。已知重力加速度为g，且在下列情境中，均不计空气阻力。

（1）劲度系数为k₁的轻质弹簧上端固定，下端连一可视为质点的小物块，若以小物块的平衡位置为坐标原点O，以竖直向下为正方向建立坐标轴Ox，如图所示，用x表示小物块由平衡位置向下发生的位移。

a.求小物块的合力F与x的关系式，并据此说明小物块的运动是否为简谐运动；

b.系统的总势能为重力势能与弹性势能之和。请你结合小物块的受力特点和求解变力功的基本方法，以平衡位置为系统总势能的零势能参考点，推导小物块振动位移为x时系统总势能E_P的表达式。

（2）图所示为理想单摆，摆角θ足够小，可认为是简谐运动。其平衡位置记为O'点。

a.若已知摆球的质量为m，摆长为L，在偏角很小时，摆球对于O'点的位移x'的大小与θ角对应的弧长、弦长都近似相等，即近似满足：sinθ≈ $\text{[math]}$ 。请推导得出小球在任意位置处的回复力与位移的比例常数k₂的表达式；

b.若仅知道单摆的振幅A，及小球所受回复力与位移的比例常数k₂ ，求小球在振动位移为 $\text{[math]}$ 时的动能E_k（用A和k₂表示）。

【考点】

单摆及其回复力与周期;

【答案】

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解答题普通

1. 如图所示，图甲是一个单摆振动的情形，O是它的平衡位置，B、C是摆球所能到达的最远位置。设摆球向右运动为正方向，图乙是这个单摆的振动图像，根据图像回答：

（1）单摆振动的频率是多大？

（2）开始时刻摆球在何位置？

（3）若当地的重力加速度为9.86 m/s² ，则这个摆的摆长是多少？

解答题容易

2. 如图，半径为R光滑圆弧面上有一个质量为m小球，把它从最低点移开一小段距离，放手后，小球以最低点为平衡位置左右摆动，且可近似认为其运动为简谐振动。

（1）求小球做简谐振动的周期T；

（2）已知做简谐振动的物体，所受的回复力与其偏离平衡位置的位移存在正比例关系。求小球做简谐振动时回复力与偏离平衡位置位移的比例系数k是多少。（空气阻力可忽略，重力加速度为g，当偏离角度θ很小时，可认为sinθ≈tanθ≈θ，且可认为小球偏离平衡位置的位移与小球到圆弧圆心的连线垂直）

解答题容易

3. 将一测力传感器连接到计算机上就可以测量快速变化的力，如图所示，(甲)图中 O 点为单摆的悬点，现将小球(可视为质点)拉到 A 点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，则摆球在竖直平面内的 ABC 之间来回摆动，其中 B 点为运动中最低位置， ∠AOB =∠COB=α， α 小于 5°且是未知量.图(乙)表示由计算机得到细线对摆球的拉力大小 F 随时间变化的曲线，且图中 t =0 时刻为摆球从 A 点开始运动的时刻，根据力学规律和题中信息(g 取 10 m/s2)求：

(1)单摆的周期和摆长；

(2)摆球的质量；

解答题容易