人类一直以来对月球充满了好奇和向往，各国也加快了对月球的探索。2024年5月3日“嫦娥六号”探测器由长征五号遥八运载火箭在我国文昌航天发射场发射，“嫦娥六号”探测器在月球着陆，并在月球表面采样成功。假设“嫦娥六号”探测器在月球表面做了一个单摆实验，测得单摆的摆长为，周期为。某学校高二（1）班观看了这个场景，想根据单摆实验测出地球表面的重力加速度，某同学在实验室做了一个单摆实验，用刻度尺测得单摆的摆长为，周期为，不考虑地球和月球的自转。已知月球半径为，引力常量为。求：

1. 人类一直以来对月球充满了好奇和向往，各国也加快了对月球的探索。2024年5月3日“嫦娥六号”探测器由长征五号遥八运载火箭在我国文昌航天发射场发射，“嫦娥六号”探测器在月球着陆，并在月球表面采样成功。假设“嫦娥六号”探测器在月球表面做了一个单摆实验，测得单摆的摆长为 $\text{[math]}$ ，周期为 $\text{[math]}$ 。某学校高二（1）班观看了这个场景，想根据单摆实验测出地球表面的重力加速度，某同学在实验室做了一个单摆实验，用刻度尺测得单摆的摆长为 $\text{[math]}$ ，周期为 $\text{[math]}$ ，不考虑地球和月球的自转。已知月球半径为 $\text{[math]}$ ，引力常量为 $\text{[math]}$ 。求：

(1) 月球表面重力加速度和地球表面的重力加速度大小之比；

(2) 月球的平均密度。

【考点】

单摆及其回复力与周期; 万有引力定律;

【答案】

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解答题普通

1. 正在修建的房顶上固定的一根不可伸长的细线垂到三楼窗沿下，某同学应用单摆原理测量窗的上沿到房顶的高度，先将线的下端系上一个小球，发现当小球静止时，细线恰好与窗子上沿接触且保持竖直，他打开窗子，让小球在垂直于墙的竖直平面内摆动，如图所示，从小球第1次通过图中的B点开始计时，第21次通过B点时用30s；球在最低点B时，球心到窗上沿的距离为1m，当地重力加速度g取 $\text{[math]}$ ；

(1) 小球第1次从左向右经过B点开始计时，则第2次经过B点时，时间间隔是多少？

(2) 根据以上数据求房顶到窗上沿的高度。

解答题普通

2. 2021年5月15日4时18分，我国首次火星探测任务“天问一号”携祝融号成功着陆在火星乌托邦平原，至此，火星上终于留下了中国印迹，是我国航天科技的一座新的里程碑，这也是我国开展星际探测行动的历史性重要一步。假设在着陆前，“天问一号”距火星表面高度为h，绕火星做周期为T的匀速圆周运动，已知火星半径为R，万有引力常量为G。求：

（1）火星表面的重力加速度大小？

（2）“天问一号”匀速圆周运动的线速度大小？

（3）火星的平均密度是多少？

解答题普通

3. 某同学自己制作了一套玩具，利用剖开的半径为 $\text{[math]}$ 的圆管作为轨道，固定在水平面内，如图所示，弧 $\text{[math]}$ ， ad长为3.6m，在d处挖一小洞。游戏时，用弹簧枪将一小球（比洞略小）沿ad方向射出，通过控制弹出时的速度大小，可使小球落入洞中，a、b、c、d在同一水平面上，不计小球和管道面间的摩擦，小球可视为质点，重力加速度g取 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 取3。若使小球能够进入洞中，求：

（1）小球弹出时的最大速率；

（2）小球从a点发射时可能的速率。

解答题普通