例如:如图是一个长为 , 宽为的长方形,沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形,然后按图的形状拼成一个正方形.请解答下列问题:
(1)观察图 , 请你写出、、之间的等量关系是______;
(2)根据(1)中的等量关系解决如下问题:若 , , 求的值;
[知识迁移]类似地,用两种不同的方法计算同一几何体的体积,也可以得到一个恒等式.
(3)根据图 , 写出一个代数恒等式:______;
(4)已知 , , 利用上面的规律求的值.
根据上面的解题思路与方法解决下列问题:
(2)已知中, , 分别以、边向外侧作正方形.如图所示,设 , 两正方形的面积和为20,求的面积.
在一次数学活动课上,张老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片,其中甲种纸片是边长为x的正方形,乙种纸片是边长为y的正方形,丙种纸片是长为y,宽为x的长方形,并用甲种纸片一张,乙种纸片一张,丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形.
【理解应用】
(1)观察图2,用两种不同的方式表示阴影部分的面积可得到一个等式,请你直接写出这个等式: ;
【拓展升华】
(2)利用(1)中的等式解决下列问题.
①已知 , 求的值;
②已知且 , , 求与的值.
如图 , 长方形的长与宽分别为、 , 请认真观察图形,解答下列问题:
若满足 , 求的值;
如图 , 长方形中, , 、是边上的点在左侧 , 以为边向下作正方形 , 延长交于点 , 再以为边向上作正方形 , 若 , , 为常数,且 , 正方形与长方形重叠部分的长方形面积为 , 求长方形的周长.
思想方法:借助几何图形探究数量关系,体现了数形结合的思想方法.
数学思考:利用图形推导的数学公式解决问题.
图1表示:;
图2表示:;
(1)公式应用:若 , , 则的值为;
(2)拓展延伸:如图2,四边形和四边形是两个正方形,若 , , 则的值为.
①观察图形,可以发现代数式可以分解因式为 ;
②若每块小长方形的面积为 , 四个正方形的面积和为 , 试求的值.
②如图2,是线段上一点,以 , 为边向两边作正方形, , 两个正方形的面积和 , 求图中阴影部分的面积.
拓展应用:根据(1)中的等量关系及课本所学的完全平方公式知识,解决如下问题: