如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3过A（1，0），B（﹣3，0），直线AD交抛物线于点D，点D的横坐标为﹣2，点P（m，n）是线段AD上的动点．（1）求直线AD及抛物线的解析式；（2）过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求线段PQ的长度l与m的关系式，m为何值时，PQ最长？（3）在平面内是否存在整点（横、纵坐标都为整数）R，使得P，Q，D，R为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由．

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1. 如图，抛物线y＝ax²+bx﹣3过A（1，0），B（﹣3，0），直线AD交抛物线于点D，点D的横坐标为﹣2，点P（m，n）是线段AD上的动点．

（1）求直线AD及抛物线的解析式；

（2）过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求线段PQ的长度l与m的关系式，m为何值时，PQ最长？

（3）在平面内是否存在整点（横、纵坐标都为整数）R，使得P，Q，D，R为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由．

【考点】

待定系数法求二次函数解析式; 平行四边形的性质;

【答案】

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解答题普通

基础巩固

能力提升

变式训练

拓展培优

换一批

1. 已知二次函数的顶点坐标为 $\text{[math]}$ ，且其图象经过点 $\text{[math]}$ ，求此二次函数的解析式．

解答题容易

2. 已知抛物线的顶点坐标是 $\text{[math]}$ ，且抛物线经过点 $\text{[math]}$ ．求抛物线的二次函数的表达式．

解答题容易

3. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，二次函数 $\text{[math]}$ 的图象经过点 $\text{[math]}$ ．

（1）求二次函数的表达式；

（2）求二次函数图象的对称轴．

解答题容易

1. 设二次函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是常数）的图象与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点．

(1) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点的坐标分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求函数 $\text{[math]}$ 的表达式及其图象的对称轴；

(2) 若该二次函数 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 这三个实数中，只有一个是负数，求 $\text{[math]}$ 的取值范围；

(3) 设一次函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 是常数），若函数 $\text{[math]}$ 的表达式还可以写成 $\text{[math]}$ 的形式，当函数 $\text{[math]}$ 的图象经过点 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值．

解答题普通

2. 在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，其对称轴为直线 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在该抛物线上，其横坐标为 $\text{[math]}$ ．以点 $\text{[math]}$ 为对称中心，作正方形 $\text{[math]}$ ．使 $\text{[math]}$ 轴，且点 $\text{[math]}$ 的横坐标为1．

(1) 求该抛物线对应的函数关系式．

(2) 当点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合时，求抛物线的顶点到正方形 $\text{[math]}$ 垂直于 $\text{[math]}$ 轴的边的最短距离．

(3) 当抛物线在正方形 $\text{[math]}$ 内部的部分对应的函数值 $\text{[math]}$ 随 $\text{[math]}$ 的增大而减小或 $\text{[math]}$ 随 $\text{[math]}$ 的增大而增大时，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

(4) 当抛物线与正方形 $\text{[math]}$ 的边有且只有两个交点，且这两个交点的纵坐标之和为8时，直接写出 $\text{[math]}$ 的值．

解答题困难

3. 已知抛物线： $\text{[math]}$ 中，自变量x和函数值y的部分对应值如表所示：

x	…	$\text{[math]}$	0	1	2	3	4	…
y	…	4	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	4	14	…

(1) 请直接写出该抛物线的对称轴：___________________________；

(2) 请直接写出抛物线的解析式_______________________________________；

(3) 结合图像及表中数据，直接写出当 $\text{[math]}$ 时，x的取值范围是__________________；

(4) 当 $\text{[math]}$ 时，y的取值范围是____________________________．

解答题普通

1. 抛物线 $\text{[math]}$ 上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表．下列结论不正确的是（　　）

x	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	0	1
y	0	4	6	6

A. 抛物线的开口向下 B. 抛物线与x轴的一个交点坐标为 $\text{[math]}$ C. 抛物线的对称轴为直线 $\text{[math]}$ D. 函数 $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$

单选题普通

2. 在“探索二次函数 $\text{[math]}$ 的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了坐标系中的四个点： $\text{[math]}$ ．同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，并得到对应的函数表达式 $\text{[math]}$ ，则当 $\text{[math]}$ 的值最小时，该二次函数图象经过（）．

A. B，C，D B. A，C，D C. A，B，D D. A，B，C

单选题普通

3. 写出一个开口向下且顶点为 $\text{[math]}$ 的抛物线的表达式．

填空题容易

1. 如图，以 $\text{[math]}$ 为顶点的抛物线与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与该抛物线交于另一点 $\text{[math]}$ ，与其对称轴交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上的一个动点（点 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 不重合）．过 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴的垂线与这条抛物线交于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 求直线 $\text{[math]}$ 和抛物线的解析式；

(2) 设线段 $\text{[math]}$ 的长为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的横坐标为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的函数解析式，并写出自变量 $\text{[math]}$ 的取值范围；

(3) 动点 $\text{[math]}$ 能否使得四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形？若能，试求出此时点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不能，试说明理由．

解答题普通

2. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 求抛物线的表达式；

(2) 如图，若直线 $\text{[math]}$ 下方的抛物线上有一动点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴平行线交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的垂线，垂足为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 周长的最大值；

(3) 若点 $\text{[math]}$ 在抛物线的对称轴上，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上，是否存在以 $\text{[math]}$ 为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点 $\text{[math]}$ 的坐标，若不存在，请说明理由；

解答题困难

3. 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，与y轴交于点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 与该抛物线交于点A，D，作y轴的平行线分别交抛物线、直线 $\text{[math]}$ 和x轴于点P，Q，R，点R位于点O，A之间．

(1) 求抛物线和直线 $\text{[math]}$ 的解析式；

(2) 求线段 $\text{[math]}$ 的最大值；

(3) 连接 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 与y轴交于点E，若四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形，求点P的坐标．

解答题普通